难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）法一：找到两组两个个点，代入，求出 T 点坐标

$T(0,-1)$

TIP

因为不知道 T 点是否在椭圆上，所以不知道能否化简。

解（2）法二：硬算

最后通过不含常数项，得出 $t=-1$

反设直线，不好算。

正设直线相对好算点。

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),T(0,t)$

$k_1=\frac{y_1-t}{x_1},k_2=\frac{y_2-t}{x_2}$

$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\lambda$

$=\frac{k_1+k_2}{k_1{k}_2}$

$k_1+k_2=\frac{y_1-t}{x_1}+\frac{y_2-t}{x_2}$

$k_1{k}_2=\frac{(y_1-t)(y_2-t)}{x_1{x}_2}$

设 $y+1=k(x+1)$

$y=kx+k-1,m=k-1$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+4y^2-4=0\\ y=kx+m,x=\frac{y-m}{k}\end{array}$

$x^2+4(kx+m{)}^2-4=0$

$(4k^2+1)x^2+8kmx+4m^2-4=0$

$x_1+x_2=\frac{-8km}{4k^2+1}$

$x_1{x}_2=\frac{4m^2-4}{4k^2+1}$

$k_1+k_2=\frac{k{x}_1+m-t}{x_1}+\frac{k{x}_2+m-t}{x_2}$

$=2k+\frac{(m-t)(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}$

$=2k+(m-t)\frac{-8km}{4m^2-4}$

$=2k+\frac{-8m^2+8kmt}{4m^2-4}$

$=\frac{-8k+8kmt}{4m^2-4}$

$(\frac{y-m}{k}{)}^2+4y^2-4=0$

$(y_1-t)(y_2-t)=\frac{(t-m{)}^2+4k^2(t^2-1)}{4k^2+1}$

$k_1{k}_2=\frac{(t-m{)}^2+4k^2(t^2-1)}{4m^2-4}$

所以 $\lambda =\frac{8k(mt-1)}{(t-m{)}^2+4k^2(t^2-1)}$

$=\frac{8k(kt-t-1)}{(t-k+1{)}^2+4k^2(t^2-1)}$

$t=-1$

$\lambda =\frac{8k(-k)}{k^2}=-8$