难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题硬解定理

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

设 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$

焦点在 y 轴上。

$c=\sqrt{3}$

$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{4b^2}=1$

$\frac{3}{b^2+3}+\frac{1}{4b^2}=1$

$\frac{12b^2+b^2+3}{(b^2+3)4b^2}=1$

$12b^2+3=4b^4+12b^2$

$b^2=1$

$a^2=4$

$\frac{y^2}{4}+x^2=1$

解（2）①

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),A(1,0)$

$\overrightarrow{AM}=(x_1-1,y_1)$

$\overrightarrow{AN}=(x_2-1,y_2)$

因为 $AM\perp AN$

所以 $(x_1-1)(x_2-1)+y_1{y}_2=0$

设直线 $l:y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{4}+x^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$y^2+4x^2-4=0$

$(kx+m{)}^2+4x^2-4=0$

$(k^2+4)x^2+2kmx+m^2-4=0$

$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{k^2+4+2km+m^2-4}{k^2+4}=\frac{(k+m{)}^2}{k^2+4}$

$x=\frac{y-m}{k}$

$y^2+4(\frac{y-m}{k}{)}^2-4=0$

$y_1{y}_2=\frac{4(m^2-k^2)}{k^2+4}$

所以 $(k+m{)}^2+4(m^2-k^2)=0$

$k+m+4(m-k)=0$

$5m=3k$

$m=\frac{3}{5}k$

若 $|AM|=|AN|$

$(x_1-1{)}^2+y_1^2=(x_2-1{)}^2+y_2^2$

$x_1^2-2x_1+y_1^2=x_2^2-2x_2+y_2^2$

$x_1^2-x_2^2-2(x_1-x_2)+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$

$(x_1-x_2)(x_1+x_2-2)+(y_1+y_2)(k{x}_1-k{x}_2)=0$

$(x_1-x_2)(x_1+x_2-2+k(y_1+y_2))=0$

因为斜率存在，所以 $x_1\ne x_2$

$x_1+x_2=\frac{-2km}{k^2+4}$

$y_1+y_2=2m+k(x_1+x_2)=2m+\frac{-2k^{2}m}{k^2+4}=\frac{8m}{k^2+4}$

所以 $\frac{-2km-2k^2-8+8km}{k^2+4}=0$

$6km-2k^2-8=0$

$6k\cdot \frac{3}{5}k-2k^2=8$

$\frac{8}{5}{k}^2=8$

$k=\sqrt{5}(k>0)$

解（2）②

$S_{\mathrm{△}AMN}=\frac{1}{2}(\frac{3}{5}+1)\times |y_1-y_2|$

$=\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{4\times 1\times 4\times k^2(k^2+4-\frac{9}{25}{k}^2)}}{k^2+4}$

$=\frac{16}{5}\times \frac{\sqrt{k^2(\frac{16}{25}{k}^2+4)}}{k^2+4}$

令 $k^2+4=t,t>4$

$S=\frac{16}{5}\times \frac{\sqrt{(}t-4)[\frac{16}{25}(t-4)+4]}{t}$

$=\frac{16}{5}\times \frac{\sqrt{(t-4)(\frac{16}{25}t+\frac{36}{25})}}{t}$

$=\frac{16}{5}\times \frac{1}{5}\frac{\sqrt{16t^2-28t-144}}{t}$

$=\frac{16}{25}\times 16-\frac{28}{t}-\frac{144}{t^2}$

$=\frac{32}{25}\times 4-\frac{7}{t}-\frac{36}{t^2}$

令 $\frac{1}{t}=b,b\in (0,\frac{1}{4})$

$S=\frac{32}{25}\times \sqrt{4-7b-36b^2}$

$\frac{-b}{2a}=-\frac{7}{72}$，

所以 $b\to 0$ 时，$S$ 最大为 $\frac{64}{25}$

TIP

如果已经确定椭圆的焦点在 y 轴上，那么设椭圆方程时要将 $a$ 设在 $y^2$ 下面。

$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b)$

TIP

翻译两条直线垂直条件，优先有向量翻译，不用考虑斜率不存在的情况。

其次选择 $k_1{k}_2=-1$

TIP

若反设直线，用硬解定理求出的 $\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{a}$ 更好算。

比如直线 $y=kx+\frac{3}{5}k=k(x+\frac{3}{5})⟺x=\frac{1}{k}y-\frac{3}{5},m=\frac{1}{k}$

若反设直线，

$\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{4}+x^2=1\\ x=my-\frac{3}{5}\end{array}$

$|y_1-y_2|=\frac{\sqrt{4\times 1\times 4\times 1^2(4m^2+1-\frac{9}{25})}}{1+4m^2}$

若正设直线，

$\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{4}+x^2=1\\ y=kx+\frac{3}{5}k\end{array}$

$|y_1-y_2|=\frac{\sqrt{4\times 1\times 4\times k^2(k^2+4-\frac{9}{25}{k}^2)}}{k^2+4}$