难度： 困难

标签： 求最小值问题射影定理基本不等式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b,c$，若 $acosB-bcosA=\frac{c}{2}$，则表达式 $\frac{acosA+bcosB}{acosB}$ 的最小值为____.

解

如果不用射影定理，没发现可以解出来的办法。

因为 $acosB-bcosA=\frac{c}{2}$

又由 $acosB+bcosA=c$

得 $acosB=\frac{3c}{4},bcosA=\frac{c}{4}$

即 $cosB=\frac{3c}{4a},cosA=\frac{c}{4b}$

$\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{式}=\frac{acosA+bcosB}{acosB}$

$=\frac{1}{3}\frac{a}{b}+\frac{3b}{a}⩾\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}$

$=\frac{2\sqrt{3}}{3}$