三角形的各种线的向量刻画

三角形中的各种常用的线段，可以用向量形式的符号语言来刻画。

在这里将三角形中常用的各种线段的向量表示形式好好作以总结储备。

常用结论

1、与非零向量 $\overrightarrow{a}$ 共线的单位向量 $\overrightarrow{a_0}$ 为两个，$\overrightarrow{a_0}=\pm \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$；$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ 刻画的是和向量 $\overrightarrow{AB}$ 同方向的单位向量，$-\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ 刻画的是和 $\overrightarrow{AB}$ 反方向的单位向量。

2、在 $\mathrm{△}ABC$ 中，令 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，以 $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}$ 为基底，则用基底向量的线性组合就可以表示三角形中的各种线对应的向量。如图所示，$AD,AE,AF$ 分别是三角形的底边 $BC$上的中线、角平分线，高线；L 为平面内一点。

三角形的中线向量：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

三角形的中垂线向量：$|\overrightarrow{LB}|=|\overrightarrow{LC}|$，则 $LD$ 为中垂线；

三角形的高线向量：$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{CB}=0,\overrightarrow{AF}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=0,\overrightarrow{AF}\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0,\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{b}=0$

三角形的角平分线向量：$\overrightarrow{AE}=\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=\lambda (\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|})$

或 $\overrightarrow{AE}\cdot (\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=0$

三角形的顶角平分线和底边高线重合的刻画：$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\cdot \overrightarrow{BC}=0$

三角形的顶角平分线和底边中线重合的刻画：$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})//(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$

例题

例题 1

若非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 满足 $(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\cdot \overrightarrow{BC}=0$，且 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{2}$，则 $\mathrm{△}ABC$ 为

$A.\mathrm{三}\mathrm{边}\mathrm{均}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}$

$B.\mathrm{直}\mathrm{角}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}$

$C.\mathrm{底}\mathrm{边}\mathrm{和}\mathrm{腰}\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{等}\mathrm{腰}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}$

$D.\mathrm{等}\mathrm{边}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}$

Details

$D.$

本题中，表达式 $(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$ 刻画的是 $\mathrm{\angle }A$ 的角平分线向量，

由题意之，$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\cdot \overrightarrow{BC}=0$，则说明 $\mathrm{\angle }A$ 的平分线和 $BC$ 边垂直，则三角形 $\mathrm{△}ABC$ 为等腰三角形（顶角平分线和底边高线合一的三角形是等腰三角形）

又 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{2}$，说明 $\mathrm{\angle }A={60}^{\circ }$

故选 D。

法二：

将 $\overrightarrow{BC}$ 向量乘进去，利用向量乘积的定义也能做出来。

例题 2

$\mathrm{△}ABC$中，$(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\cdot \overrightarrow{AC}=0,|\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}|=\sqrt{3}$。

则此三角形为（）

$A.\mathrm{直}\mathrm{角}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}$

$B.\mathrm{等}\mathrm{边}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}$

$C.\mathrm{钝}\mathrm{角}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}$

$D.\mathrm{等}\mathrm{腰}\mathrm{直}\mathrm{角}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}$

Details

两个向量相加，使用平移法首尾相连！

$|\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}|=\sqrt{3}$

B。