难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题因式分解韦达定理极值点偏移条件转换

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 翻译不了条件，不知道题目想表达什么。

已知函数 $f(x)=ax-lnx,g(x)=x^2-nx+m$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）当 $0<a<\frac{1}{4}$ 时，若对于任意的 $x>0$，都有 $f(x)g(x)⩾0$，求证：$2<lnm<\frac{n}{4}$

第一问

$f^{\prime }(x)=a-\frac{1}{x}$

$=\frac{ax-1}{x},x>0$

一、$a⩽0$

$f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

二、$a>0$

$0<x<\frac{1}{a},f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>\frac{1}{a},f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

第二问

$0<a<\frac{1}{4},x>0$

$f(x)g(x)⩾0$

$f(x{)}_{min}=f(\frac{1}{a})=1-ln\frac{1}{a}=1+lna<1+\frac{1}{e}=0$

所以 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有相同的零点。

设相同的零点为 $x_1,x_2$

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=n\\ x_1{x}_2=m\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a{x}_1=ln{x}_1\\ a{x}_2=ln{x}_2\end{array}$

所以 $a(x_1+x_2)=ln{x}_1{x}_2$

an = lnm

所以 $lnm=an<\frac{n}{4}$

下证 $lnm>2$

$ln{x}_1+ln{x}_2>2$

$a{x}_1+a{x}_2>2$

$x_1+x_2>\frac{2}{a}$

设 $0<x_1<\frac{1}{a}<x_2$

即证 $x_2>\frac{2}{a}-x_1$

$f(x_1)=f(x_2)>f(\frac{2}{a}-x_1)$

令 $F(x)=f(x)-f(\frac{2}{a}-x),0<x<\frac{1}{a}$

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+f^{\prime }(\frac{2}{a}-x)$

$=\frac{ax-1}{x}+\frac{a(\frac{2}{a}-x)-1}{\frac{2}{a}-x}$

$=\frac{(ax-1)(\frac{2}{a}-x)+x-a{x}^2}{x(\frac{2}{a}-x)}$

$=\frac{(2ax-)(\frac{1}{a}-x)}{x(\frac{2}{a}-x)}$

所以 $F^{\prime }(x)<0,F(x)\downarrow ,F(\frac{1}{a})=0$

所以 $F(x)>0$

得证。