难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题统一变量飘带函数齐次式对数均值不等式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=x^2-x+alnx(a>0)$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<4a-\frac{1}{2}$

第一问

$f^{\prime }(x)=2x-1+\frac{a}{x}$

$=\frac{2x^2-x+a}{x}$

一、当 $\mathrm{\Delta }=1-8a⩽0$

即 $a⩾\frac{1}{8}$ 时，

在 $(0,+\mathrm{\infty })f^{\prime }(x)⩾0,f(x)\uparrow$

二、当 $\mathrm{\Delta }=1-8a>0$

即 $0<a<\frac{1}{8}$ 时，

$x_1{x}_2=\frac{a}{2}>0$

$x_1+x_2=\frac{1}{2}>0$

$x_1=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4},x_2=\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$

在 $(0,x_1)f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

在 $(x_1,x_2)f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

在 $f(x_2,+\mathrm{\infty })f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

第二问（方法一，统一变量）

$f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2(\mathrm{设}{x}_2>x_1>0)$

所以 $2x^2-x+a=0$ 有两个解

$x_1+x_2=\frac{1}{2}$

$x_1{x}_2=\frac{a}{2}$

$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{x_1^2-x_1+aln{x}_1-x_2^2+x_2-aln{x}_2}{x_1-x_2}$

$=\frac{\frac{1}{2}(x_1-x_2)-(x_1-x_2)+aln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}$

$=-\frac{1}{2}+\frac{aln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}$

即证 $\frac{aln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}>4a$

$\frac{ln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}>4$

$ln\frac{x_1}{x_2}<4(x_1-x_2)$

接下来统一变量，注意统一变量的取值范围！

因为

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{1}{2}\\ x_1{x}_2=\frac{a}{2}\\ \frac{a}{2}\in (0,\frac{1}{8})\\ x_2>x_1\end{array}$（注意不要将 $x_2>x_1$ 这个不等式漏了！这也是一个很重要的条件，漏了的话解出的 $x_2$ 范围将是错的。）

解得 $x_1=(\frac{1}{2}-x_2),x_2\in (\frac{1}{4},\frac{1}{2})$

即证 $ln\frac{\frac{1}{2}-x_2}{x_2}<4(\frac{1}{2}-2x_2)$

$ln(\frac{1}{2x_2}-1)<4(\frac{1}{2}-2x_2),x_2\in (\frac{1}{4},\frac{1}{2})$

令 $t=\frac{1}{2x_2},t\in (1,2)$

即证 $ln(t-1)<4(\frac{1}{2}-\frac{1}{t})$

令 $\phi (t)=ln(t-1)-2+\frac{4}{t}$

${\phi }^{\prime }(t)=\frac{1}{t-1}-\frac{4}{t^2}$

$=\frac{t^2-4t+4}{(t-1)t^2}$

$=\frac{(t-2{)}^2}{(t-1)t^2}$

所以在 $(1,2){\phi }^{\prime }(t)>0,\phi (t)\uparrow$

$\phi (2)=0$

所以 $\phi (t)<0$

得证。

TIP

为什么有些题构造不了齐次式？不能比值换元？

因为式子中含有 $x_1{x}_2$，并且消不掉。

第二问（方法二，构造齐次式，证明对数均值不等式）

当化简到证明这里的时候，

$\frac{ln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}>4$

将 4 换为 $x_1+x_2$ 的倒数形式，

即证 $\frac{ln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}>\frac{2}{x_1+x_2}$

$ln\frac{x_1}{x_2}<\frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}$

令 $\frac{x_1}{x_2}=t,0<t<1$

即证 $lnt<\frac{2(t-1)}{t+1}$

令 $\phi (t)=lnt-\frac{2(t-1)}{t+1}$

${\phi }^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-2[\frac{t+1-(t-1)}{(t+1{)}^2}]$

$=\frac{1}{t}-2\frac{2}{(t+1{)}^2}$

$=\frac{(t-1{)}^2}{t(t+1{)}^2}$

${\phi }^{\prime }(t)>0$

$\phi (t)\uparrow$

$\varphi(1)=0 $

所以 $\phi (t)<0$

得证。