难度： 困难

标签： 射影定理几何体问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

两个圆锥的底面是一个球的同一截面，定点均在球面上，若球的体积为 $\frac{32\pi }{3}$，两个圆锥的高之比为 $1:3$，则这两个圆锥的体积之和为

$A.3\pi$

$B.4\pi$

$C.9\pi$

$D.12\pi$

解

由 $\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{32\pi }{3}$

得球半径 $r_{\mathrm{球}}=2$

由两个圆锥的高之比为 $1:3$，得 $A{O}_1=1,B{O}_1=3$

由直角三角形中的射影定理可较快得出，$r_{\mathrm{锥}}=\sqrt{3}$

所以 $s_{\mathrm{底}}=3\pi$

$V_{\mathrm{上}}=\frac{1}{3}3\pi \cdot 3=3\pi$

$V_{\mathrm{下}}=\frac{1}{3}\cdot 3\pi \cdot 1$

$\mathrm{和}=4\pi$