00_其它

怎求 $n^2$ 的前 n 项和？

因为 $n^2$ 的前 n 项和太难了，一般都不会考。所以如果出现了这种情况，考虑是不是做错了。

利用立方差公式推导

• 我们知道 $(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$。
• 依次令 $k=1,2,\cdots ,n$，得到：
  • 当 $k=1$ 时， $2^3 - 1^3=3\times1^2 + 3\times1 + 1)；
  • 当 $k=2$ 时， $3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1$ ；
  • $\cdots$
  • 当 $k=n$ 时， $(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1$ 。
• 将以上 $n$ 个等式左右两边分别相加：
  • 左边 $\sum _{k=1}^n[(k+1{)}^3-k^3]=(n+1{)}^3-1^3$ 。
  • 右边 $\sum _{k=1}^n(3k^2+3k+1)=3\sum _{k=1}^n{k}^2+3\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1$ 。
  • 因为 $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ ， $\sum _{k=1}^{n}1=n$ ，所以有 $(n+1{)}^3-1=3\sum _{k=1}^n{k}^2+3\times \frac{n(n+1)}{2}+n$ 。
  • 展开 $(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1$ ，则 $n^3+3n^2+3n+1-1=3\sum _{k=1}^n{k}^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n$ 。
  • 即 $n^3+3n^2+3n=3\sum _{k=1}^n{k}^2+\frac{3n^2+3n}{2}+n$ 。
  • 移项可得 $3\sum _{k=1}^n{k}^2=n^3+3n^2+3n-\frac{3n^2+3n}{2}-n$ 。
  • 进一步化简：
    • $3\sum _{k=1}^n{k}^2=n^3+\frac{6n^2+6n-3n^2-3n-2n}{2}=n^3+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{2n^3+3n^2+n}{2}=\frac{n(2n^2+3n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$ 。
    • 所以 $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 。