06 几何体的展开问题

例题 1

解：

$r=\frac{3}{2}$

例题 2

解：

$6$

例题 3（易错）

需要知道的知识！

过圆锥的顶点的截面，它与圆锥侧面相交所形成的两条线段，都与圆锥底面的最外层圆圈垂直。

圆锥的母线长为 $2$，其侧面展开图的中心角为 $\theta$ 弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为 $2$ ；则 $\theta$ 的取值范围是___。

解：

首先，我们要知道怎么求过圆锥顶点的截面的面积。

$S_{\mathrm{截}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{母}\mathrm{线}{\mathrm{长}}^2\sin \alpha$

$=\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot sin\alpha$

$=2sin\alpha$

然后题目说最大值为 $2$，所以 $2sin\alpha \le 2$

$\therefore sin\alpha \le 1$

也就是说这个圆锥一定要满足截面的顶角 $\alpha$ 能达到 $\frac{\pi }{2}$。

也就是说圆锥底面的半径 $r\ge \sqrt{2}$，

当圆锥底面半径最小为 $\sqrt{2}$ 时，

$\theta =\frac{2\pi \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\pi$，可以取到。

圆锥底面半径必须小于 $2$，否则圆锥就成圆面了，所以

$\theta <2\pi$

综上，$\theta \in [\sqrt{2}\pi ,2\pi )$

例题 4

解：

$-\frac{1}{4}$