难度： 中等

标签： 导数问题同构

是否做正确： 做错了

是否属于易错题： 易错题

如果做错原因可能是： 未标明

求 $f(x)=x{e}^x-x-lnx$ 的最小值

解

$f(x)=e^{x+lnx}-(x+lnx)$

设 $t=x+lnx,t\in R$

那么

$g(t)=e^t-t,t\in R$

注意不是 $f(t)=e^t-t$，因为换个字母，函数的对应法则不会变。

$g^{\prime }(t)=e^t-1$

$t<0,g^{\prime }(t)<0,g(t)$ 单减

$t>0,g^{\prime }(t)>0,g(t)$ 单增

所以 $g(t)⩾g(0)=e^0-0=1$