难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆斜率和问题角平分线角平分线定理

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$y=1$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$

$x^2=a^2-\frac{a^2}{b^2}$

$2c=\sqrt{2}a$

$4c^2=2a^2,a^2=2c^2$

$x^2=2c^2-\frac{2c^2}{a^2-c^2}=2c^2-\frac{2c^2}{c^2}=2c^2-2=2$

$c^2=2,a^2=4$

$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

（2）

当 AB 平行与 x 轴时，$\frac{|PA|}{|PB|}=1$，所以 Q 点一定在 y 轴上。

根据角平分线定理，若 $\frac{QA}{QB}=\frac{PA}{PB}$，则根据角平分线定理，有 $k_{QA}+k_{QB}=0$

设过定点 $P(0,1)$ 的直线为 $y=kx+1，A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

点 Q 坐标为 $(0,t)$

$k_{QA}=\frac{y_1-t}{x_1},k_{QB}=\frac{y_2-t}{x_2}$

$\frac{y_1-t}{x_1}+\frac{y_2-t}{x_2}=\frac{k{x}_1+1-t}{x_1}+\frac{k{x}_2+1-t}{x_2}$

$=k+\frac{1-t}{x_1}+k+\frac{1-t}{x_2}$

$=2k+(1-t)\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

$y=kx+1$

$x^2+2y^2-4=0$

$x^2+2(kx+1{)}^2-4=0$

$(2k^2+1)x^2+4kx-2=0$

$x_1{x}_2=\frac{-2}{2k^2+1},x_1+x_2=\frac{-4k}{2k^2+1}$

所以 $k_1+k_2=2k+(1-t)\frac{-4k}{-2}$

$=2k+(1-t)2k=0$

$4k-2tk=0$

$2t=4,t=2$

所以 $Q(0,2)$

当 k 不存在时时，$\frac{QA}{QB}=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{PA}{PB}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

$\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

所以当 k 不存在时也成立。

遇到坐标轴为角平分线的条件，该怎么翻译？

$k_1+k_2=0$

角平分线定理