03 二倍角公式

二倍角公式本质上是有和差角公式推出来的。

正弦的二倍角公式

我们有公式 $sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB$，

令 $A=B=\alpha$，则 $sin2\alpha =sin\alpha cos\alpha +cos\alpha sin\alpha =2sin\alpha cos\alpha$

余弦的二倍角公式

我们有公式 $cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB$，

令 $A=B=\alpha$，则 $cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha$。

又根据公式 $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$，我们可以推出余弦二倍角公式的变形：

$cos\alpha =\{\begin{array}{l}co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha \\ 2co{s}^2\alpha -1⟹co{s}^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}\\ 1-2si{n}^2\alpha ⟹si{n}^2\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}\end{array}$

TIP

我们可以观察到，一个三角函数想要降次，那么就会升角。

想要升次，就会降角。

记忆技巧：如果一个三角函数是二次，那么它就是一倍角。如果一个三角函数是一次，那它就是二倍角。

正切的二倍角公式

我们有公式 $tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA\cdot tanB}$，

令 $A=B=\alpha$，

可以推出 $tan(2\alpha )=\frac{2tan\alpha }{1-ta{n}^2\alpha }$

例题

例题 1

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$cosA=\frac{4}{5},tanB=2$，求 $tan(2A+2B)=?$

解：

$tan(2A+2B)=\frac{tan2A+tan2B}{1-tan2A\cdot tan2B}$

$\because tan2B=\frac{2tanB}{1-ta{n}^{2}B}=\frac{2\times 2}{1-2^2}=-\frac{4}{3}$

$\because tan2A=\frac{2tanA}{1-ta{n}^A}=\frac{2\cdot \frac{3}{4}}{1-(\frac{3}{4}{)}^2}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{24}{7}$

$\therefore tan(2A+2B)=\frac{(-\frac{4}{3}+\frac{24}{7})\times 21}{(1+\frac{4}{3}\cdot \frac{24}{7})\times 21}=\frac{44}{117}$

例题 2

化简 $f(x)=2si{n}^{4}x+2co{s}^{4}x+co{s}^{2}2x-3$。

解：

$\mathrm{原}\mathrm{式}=2\cdot (\frac{1-cos2x}{2}{)}^2+2\cdot (\frac{1+cos2x}{2}{)}^2+co{s}^{2}2x-3$

$=2(\frac{1-2cos2x+co{s}^{2}2x}{4})+2(\frac{1+2cos2x+co{s}^{2}2x}{4})+co{s}^{2}2x-3$

$=1+2co{s}^{2}2x-3$

$=cos4x-1$