05 抛物线的定义

说说

$\{\begin{array}{l}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{离}\mathrm{心}\mathrm{率}e=0\\ \mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{离}\mathrm{心}\mathrm{率}0<e<1\\ \mathrm{抛}\mathrm{物}\mathrm{线}\mathrm{的}\mathrm{离}\mathrm{心}\mathrm{率}e=1\\ \mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{的}\mathrm{离}\mathrm{心}\mathrm{率}e>1\end{array}$

抛物线的定义

定义：平面内到一个定点 F（焦点）和一条定直线 l（准线）距离相等的点的轨迹所构成的曲线。

我们把这个定点叫作焦点，这个定直线叫作准线。

抛物线的标准方程可以表示为

$$y^2=2px$$

其中 $p>0$，焦点坐标为 $(\frac{p}{2},0)$，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。

TIP

假设焦点到准线的距离为 $p$，由此我们可以推出公式：

$(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2=(x+\frac{p}{2}{)}^2$

$x^2-px+\frac{p^2}{4}+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}$

$y^2=2px$

标准形式与其它形式

标准形式，开口向右

抛物线的标准形式是 $y^2=2px$，其中的 $p$ 代表焦点到准线的距离长度。

开口向左

开口向左，将 $x$ 变为 $-x$ 就可以了。

抛物线方程变为 $y^2=-2px$，准线就变为 $x=\frac{p}{2}$。

开口向上

开口向上，将 $x$ 和 $y$ 的位置对调就可以了。方程变为

$x^2=2py$

开口向下

开口向上，将 $x$ 和 $y$ 的位置对调，并且 $y$ 变成 $-y$：

$x^2=-2py$

离心率

离心率永远为 1：$\frac{n}{m}=1$

练习

练习 1

已知抛物线方程为 $x^2=12y$，求抛物线的焦点坐标和准线方程；

解：

$x^2=2py$

$2p=12,p=6$

焦点 $F(0,\frac{p}{2})=F(0,3)$

准线 $l:y=-\frac{p}{2}=-3$

练习 2

已知抛物线 $C$ 的标准方程是 $y^2=6x$.

(1) 求它的焦点坐标和准线方程；

（2）直线 $l$ 过已知抛物线 $C$ 的焦点且倾斜角为 ${45}^{\circ }$，且与抛物线的交点为 $A,B$，求线段 $AB$ 的长度。

解：

（1）

$y^2=2px=6x$

$2p=6,p=3$

$F(\frac{3}{2},0)$

$l:x=-\frac{3}{2}$

（2）

$l:y=x-\frac{3}{2}$

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$|AB|=|x_1+x_2+\frac{p}{2}+\frac{p}{2}|$

$=|x_1+x_2+p|$

联立直线与抛物线的方程，得

$(x-\frac{3}{2}{)}^2=6x$

$x^2-9x+\frac{9}{4}=0$

根据韦达定理，

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{1}=9$

$\therefore |AB|=9+3=12$