难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题切线问题双切线问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

设切线 $y-2=k(x-s)$

$y=kx+2-ks$

令 $m=2-ks$

$y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0$

${\mathrm{\Delta }}_x=4\times 4\times 1\times (4k^2+1-m^2)=0$

$m^2=4k^2+1$

$(2-ks{)}^2=4k^2+1$

$(4-s^2)k^2+4sk-3=0$

$k_1{k}_2=\frac{-3}{4-s^2},k_1+k_2=\frac{-4s}{4-s^2}$

直线 $PM:y=k_{1}x+m_1,(m_1>0,k_1>0)$

直线 $PQ:y=k_{2}x+m_2,(m_2<0,k_2>0)$

$N(0,m_1),M(-\frac{m_1}{k_1},0)$

$Q(-\frac{m_2}{k_2},0),T(0,m_2)$

$|MQ|=\frac{m_1}{k_1}-\frac{m_2}{k_2}$

$S_1=\frac{1}{2}\times 2\times |\frac{m_1{k}_2-m_2{k}_1}{k_1{k}_2}|$

$=\frac{m_1{k}_2-m_2{k}_1}{k_1{k}_2}$

$|NT|=m_1-m_2$

$S_2=\frac{1}{2}(m_1-m_2)s$

$s_1{s}_2=\frac{1}{2}\frac{m_1{k}_2-m_2{k}_1}{k_1{k}_2}(m_1-m_2)s$

$=\frac{1}{2}\frac{(2-k_{1}s)k_2-(2-k_{2}s)k_1}{k_1{k}_2}(-k_{1}s+k_{2}s)s$

$=\frac{1}{2}\frac{2k_2-2k_1}{k_1{k}_2}{k}_2-k_1{s}^2$

$=\frac{(k_2-k_1{)}^2}{k_1{k}_2}{s}^2$

$ = {(k_1 + k_2)^2 -4k_1k_2 \over k_1k_2} s^2$

$=[\frac{16s^2}{(4-s^2{)}^2}\times \frac{4-s^2}{-3}-4]s^2$

$ = {4\over 3}{(s^2 + 12)s^2 \over s^2 - 4}$

令 $s^2-4=t,t>0$

$s_1{s}_2=\frac{4}{3}\frac{(t+16)(t+4)}{t}$

$=\frac{4}{3}\frac{t^2+20t+64}{t}$

$=\frac{4}{3}(t+\frac{64}{t}+20)⩾48$

当且仅当 $t=8$ 时取等，

TIP

如果最后的式子要求值域，但是很难通过换元求出最值。

那么有 60% 的概率算错了。可能是式子哪里化简错了。

TIP

遇到 $\frac{k_2}{k_1}+\frac{k_1}{k_2}$ 这种式子，

可以通过韦达定理构造齐次式，得出它的值。

$\frac{(k_1+k_2{)}^2}{k_1{k}_2}=\frac{k_1^2+k_2^2+2k_1{k}_2}{k_1{k}_2}$

$=\frac{k_2}{k_1}+\frac{k_1}{k_2}+2$