难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题求四边形面积抛物线

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\{\begin{array}{l}{y}^2=x\\ (x-4{)}^2+y^2=r^2\end{array}$

$(x-4{)}^2+x=r^2$

$x^2-7x+16-r^2=0$

$\mathrm{\Delta }>0$

$49-4(16-r^2)>0$

$49-64+4r^2>0$

$4r^2>15$

$r>\frac{\sqrt{15}}{2}$

且 $r<4$

$\frac{\sqrt{15}}{2}<r<4$

解（2）

设 $A(y_1^2,y_1),B(y_1^2,-y_1),D(y_2^2,y_2),C(y_2^2,-y_2)$

要利用圆与抛物线联立的方程，得出 $x_1+x_2,x_1{x}_2$ 的关系式子。

由（1）问得，

$x^2-7x+16-r^2=0$

$x_1{x}_2=y_1^2{y}_2^2=16-r^2$

$x_1+x_2=y_1^2+y_2^2=7$

$|x_A-x_D|=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$

$=\sqrt{4r^2-15}$

$|y_A-y_B|=2y_1,|y_D-y_C|=2y_2$

$S=\frac{1}{2}|2y_1+2y_2|\cdot |x_1-x_2|$

$=|y_1+y_2||x_1-x_2|$

$y_1+y_2=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2}=\sqrt{7+2\sqrt{16-r^2}}$

$S=\sqrt{(4r^2-15)(7+2\sqrt{16-r^2})}$

令 $\sqrt{16-r^2}=t,r^2=16-t^2,t\in (0,\frac{7}{2})$

$S=\sqrt{(-4t^2+49)(2t+7)}$

令 $f(t)=(-4t^2+49)(2t+7)$

$f^{\prime }(t)=(-8t)(2t+7)+2(-4t^2+49)$

$=(-8t)(2t+7)+2(7+2t)(7-2t)$

$=(2t+7)(-8t+14-4t)$

$=(2t+7)(-12t+14)$

所以 $0<t<\frac{7}{6},f^{\prime }(t)>0,f(t)\uparrow$

$\frac{7}{6}<t<\frac{7}{2},f^{\prime }(t)<0,f(t)\downarrow$

所以 $t=\frac{7}{6}$ 时，面积取得最大值。

设 $P(t,0)$

$\frac{y_1}{y_1^2-t}=\frac{y_1+y_2}{y_1^2-y_2^2}$

$t=y_1{y}_2=\sqrt{16-r^2}=t=\frac{7}{6}$

所以 $P(\frac{7}{6},0)$