难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$2a=4$

$a=2$

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$c=\sqrt{3}$

$b^2=a^2-c^2=4-3=1$

$E:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（1）

$k_{AT}=\frac{\frac{1}{2}}{t+2}=\frac{1}{2t+4}$

$k_{BT}=\frac{1}{2t-4}$

设 $l_{AC}:x=m_{1}y-2,m_1=2t+4=2(t+2)$

$l_{BD}:x=m_{2}y+2,m_2=2t-4$

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{4}+y^2=1 \\ x=m_{1}y-2 \end{gathered}$$

$(m_1^2+4)y^2-4m_{1}y=0$

$y_1=\frac{4m_1}{m_1^2+4}$

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{4}+y^2=1 \\ x=m_{2}y+2 \end{gathered}$$

$(m_2^2+4)y^2+4m_{2}y=0$

$y_2=\frac{-4m_2}{m_2^2+4}$

$\frac{1}{17}=\frac{y_2-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{y_1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

$=(2y_2-1)(2y_1-1)$

$=(\frac{-8m_2-m_2^2-4}{m_2^2+4})(\frac{8m_1-m_1^2-4}{m_1^2+4})$

$=\frac{m_2^2+8m_2+4}{m_2^2+4}\cdot \frac{m_1^2-8m_1+4}{m_1^2+4}$

这时候再换回去

$\frac{1}{17}=\frac{4(t-2{)}^2+16(t-2)+4}{(t-2{)}^2+4}\cdot \frac{4(t+2{)}^2-16(t+2)+4}{4(t+2{)}^2+4}$

$=\frac{(t-2{)}^2+4(t-2)+1}{(t-2{)}^2+1}\cdot \frac{(t+2{)}^2-4(t+2)+1}{(t+2{)}^2+1}$

$=\frac{t^2-3}{t^2-4t+5}\frac{t^2-3}{t^2+4t+5}$

$=\frac{(3-t^2{)}^2}{(t^2+5{)}^2-16t^2}=\frac{1}{17}$

令 $t^2=m$

$\frac{(3-m{)}^2}{(m+5{)}^2-16m}=\frac{1}{17}$

$\frac{m^2-6m+9}{m^2-6m+25}=\frac{1}{17}$

$17m^2-102m+153=m^2-6m+25$

$16m^2-96m+128=0$

$m^2-6m+8=0$

$(m-2)(m-4)=0$

$m=2\mathrm{或}4$

$t=\pm \sqrt{2}\mathrm{或}\pm 2(\mathrm{舍}\mathrm{去})$

$t=\pm \sqrt{2}$

TIP

换元！从未有过让 $x=(m+n)y+z$ 这种很多项的直线与曲线联立！都是令 $m+n=m_1$，

则 $x=m_{1}y+z$，这样联立更简单，后面再换回去。