02 辅助角公式

什么是辅助角公式？

假设有一个函数 $y=A\cdot sin\alpha +B\cdot cos\alpha$，我们要将它变为

$sin(\alpha \pm \beta )=sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$ 这种形式，该怎么做呢？

我们可以将函数 $y$ 变为 $\sqrt{A^2+B^2}\cdot (sin\alpha \cdot \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}+cos\alpha \cdot \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}})$ 这种形式，

然后利用三角函数的和与差公式，将其变为一个三角函数式子。

疑问

为什么要提取 $\sqrt{A^2+B^2}$ 作为公因式，而不是其它任意一个数字呢？

举个例子，当有一个角的正弦值是 $\frac{1}{5}$ 时，那么它的余弦值应该是 $\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$ 吧。

如果我们随便除以一个数字，那么这个正弦和余弦所对应的角可能不是同一个角。

因此要提取 $\sqrt{A^2+B^2}$ 作为公因式，而不是其它任意一个数字。

一般都是往正弦的和与差公式转，这样简单一点。

例题

例题 1

求 $y=sin\alpha +cos\alpha$ 的周期和值域。

解：

$y=sin\alpha +cos\alpha =\sqrt{2}(sin\alpha \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+cos\alpha \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})$

$=\sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4})$

所以值域为 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$

周期为 $2\pi$。

例题 2

化简 $y=\frac{\sqrt{2}}{4}sin(\frac{\pi }{4}-x)-\frac{\sqrt{6}}{4}cos(\frac{\pi }{4}-x)$。

解：

$=\frac{\sqrt{2}}{2}[sin(\frac{\pi }{4-x})\cdot \frac{1}{2}-cos(\frac{\pi }{4}-x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}]$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}sin(\frac{\pi }{4}-x-\frac{\pi }{3})$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}sin(-x-\frac{\pi }{12})$

$=-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x+\frac{\pi }{12})$