难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题极值点偏移

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{e^x}{x}-lnx+x-1$

（1）若 $f(x)⩾0$，求 a 的取值范围

（2）证明：若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，则 $x_1{x}_2<1$

第一问

$f^{\prime }(x)=\frac{e^{x}x-e^x}{x^2}-\frac{1}{x}+1$

$=\frac{e^x(x-1)-x+x^2}{x^2}$

$=\frac{e^x(x-1)+x(x-1)}{x^2}$

$=\frac{(e^x+x)(x-1)}{x^2}$

$0<x<1,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>1,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$\therefore f(x{)}_{min}=f(1)=e+1-a⩾0$

$\therefore a⩽e+1$

第二问

证明 $x_1{x}_2<1$

即证 $x_2<\frac{1}{x_1}$

$f(x_1)=f(x_2)<f(\frac{1}{x_1})$

令 $h(x)=f(x)-f(\frac{1}{x}),(0<x<1)$

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+\frac{1}{x^2}{f}^{\prime }(\frac{1}{x})$

$=\frac{(e^x+x)(x-1)}{x^2}+\frac{1}{x^2}[\frac{(e^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x})(\frac{1}{x}-1)}{\frac{1}{x^2}}]$

$=\frac{(e^x+x)(x-1)}{x^2}+[\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}-e^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}]$

$=\frac{(e^x+x)(x-1)}{x^2}+\frac{(1+x{e}^{\frac{1}{x}})(1-x)}{x^2}$

$=\frac{(e^x+x-1-x{e}^{\frac{1}{x}})(x-1)}{x^2}$

证明 $e^x-x{e}^{\frac{1}{x}}<0,0<x<1$

$e^x<x{e}^{\frac{1}{x}}$

$x<lnx+\frac{1}{x}$

令 $\phi (x)=x-lnx-\frac{1}{x}$

${\phi }^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$

$=\frac{x^2-x+1}{x^2}$

$\mathrm{\Delta }=1-4=-3<0$

所以 ${\phi }^{\prime }(x)>0,\phi (x)\uparrow$

$\phi (1)=0$

所以 $\phi (x)<0$

所以 $x-1<0,e^x-x{e}^{\frac{1}{x}}<0$

$\therefore h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$\because h(1)=f(1)-f(1)=0$

$\therefore (0,1)f(x)<0$

得证。