04 复数的三角形式

形式

因为当 $\mathrm{幅}\mathrm{角}\theta$ 过大时不方便研究，所以 $\theta$ 一般取 $[0,2\pi )$。

并且我们规定，当 $\theta \in [0,2\pi )$ 时，我们将 $\theta$ 称为幅角主角，我们记作 $argZ$。。

举个例子，求复数 $z=0+1\cdot i$ 的 $arg$。

因为 $cos\theta =0,sin\theta =1$，所以 $argz=\frac{\pi }{2}$。

又比如 $arg(-1)=\pi$

例题 1

写出 $Z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 的三角表示形式、$r$、$orgZ$。

解：

$r=\sqrt{({\frac{1}{2)}}^2+\frac{(\sqrt{3}}{2{)}^2}}=1$

$orgZ=\frac{\pi }{3}$

$Z=\sqrt{2}(cos\frac{7}{4}\pi +isin\frac{\pi }{4})$

为什么用复数的三角形式？

因为用三角形式，两个复数相乘会变得更简单。

假设有两个复数：

$Z_1=r_1(cos{\theta }_1+isin{\theta }_1)$

$Z_2=r_2(cos{\theta }_2+isin{\theta }_2)$

那么 $Z=Z_1{Z}_2=r_1{r}_2[cos{\theta }_{1}cos{\theta }_2+i(cos{\theta }_{1}sin{\theta }_2+sin{\theta }_{1}cos{\theta }_2)-sin{\theta }_{1}sin{\theta }_2]$

$=r_1{r}_2[cos({\theta }_1+{\theta }_2)+isin({\theta }_1+{\theta }_2)]$

所以新的 $Z$ 的 $r=r_1{r}_2,\theta ={\theta }_1+{\theta }_2$。

同理我们可以推出

$\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot [cos({\theta }_1-{\theta }_2)+isin({\theta }_1-{\theta }_2)]$

即 $r=\frac{r_1}{r_2},\theta ={\theta }_1-{\theta }_1$

例题 2

计算 $4(cos\frac{4\pi }{3}+isin\frac{4\pi }{3})÷[2(cos\frac{5\pi }{6}+isin\frac{5\pi }{6})]$，并把结果化为代数形式。

解：

$y=\frac{4}{2}\cdot [cos(\frac{4}{3}\pi -\frac{5}{6}\pi )+isin(\frac{4}{3}\pi -\frac{5}{6}\pi )]$

$=2(cos\frac{\pi }{2}+isin\frac{\pi }{2})$

$=2i$