难度： 困难

标签： 导数题切线夹零点差问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=x{e}^{nx}-nx(n\in N^{\ast }\mathrm{且}n⩾2)$ 的图像与 x 轴交于 $P,Q$ 两点，且点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧。

（1）求点 P 处的切线方程 $y=g(x)$，并证明：$x⩾0\mathrm{时}，f(x)⩾g(x)$

（2）若关于 x 的方程 $f(x)=t(t\mathrm{为}\mathrm{实}\mathrm{数})$ 有两个正实根 $x_1,x_2$，证明：$|x_1-x_2|<\frac{2t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}$

TIP

但凡看到零点差问题，且第一问让求切线，需要想到切线夹的解题思路。

第一问

$f(x)=x{e}^{nx}-nx$

$=x(e^{nx}-n)$

$f^{\prime }(x)=e^{nx}+nx{e}^{nx}-n$

$=e^{nx}(1+nx)-n$

若 $0=x{e}^{nx}-nx$

解得 $x=0$ 或 $x=\frac{lnn}{n}$

$\therefore P\mathrm{点}\mathrm{为}(0,0)$

$f^{\prime }(0)=1-n$

$\therefore y=g(x)=(1-n)x$

证：$x⩾0,x{e}^{nx}-nx⩾(1-n)x,n⩾2,n\in N^{\ast }$

当 $x=0$，符合题意。

当 $x\ne 0$，即证：

$e^{nx}-n⩾1-n$

$e^{nx}⩾1$

证毕。

第二问

$f^{\prime }(x)=e^{nx}(1+nx)-n(n⩾2)$

在 $x>0$ 时，可以看出 $f^{\prime }(x)$ 是一个增函数

$\because f^{\prime }(0)=1-n<0$

$x\to +\mathrm{\infty },f^{\prime }(x)\to +\mathrm{\infty }$

$\therefore$ 存在 $x_0\in (0,+\mathrm{\infty })$，使得 $f^{\prime }(x)=0$

$\therefore 0<x<x_0,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>x_0,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

由（1）知在点 P 处的切线方程方程 $y=g(x)$ 满足

$x⩾0,f(x)⩾g(x)$

$\therefore g(x)$ 与直线 $y=t$ 的交点横坐标 $x_1^{\prime }<x_1$

$(1-n)x_1^{\prime }=t$

$x_1^{\prime }=\frac{t}{1-n}$

$\because Q(\frac{lnn}{n},0)$

$f^{\prime }(\frac{lnn}{n})=n(1+lnn)-n=nlnn$

$\therefore f(x)$ 在点 Q 处的切线方程 $y=\phi (x)=nlnn(x-\frac{ln}{n})=(x-\frac{lnn}{n})nlnn$

下证，$x⩾0,f(x)⩾\phi (x)$

令 $h(x)=f(x)-\phi (x)$

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-{\phi }^{\prime }(x)$

$=e^{nx}(1+nx)-n-nlnn$

可以看出 $h^{\prime }(x)$ 是一个增函数

$h^{\prime }(\frac{lnn}{n})=n(1+lnn)-n-nlnn=0$

$\therefore 0<x<\frac{lnn}{n},h^{\prime }(x)<0,h(x)\downarrow$

$x>\frac{lnn}{n},h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$h(x)⩾h(\frac{lnn}{n})=0-0=0$

$\therefore f(x)⩾\phi (x)$

$\therefore$ 在点 Q 处的切线方程 $y=\phi (x)$ 与直线 $y=t$ 的交点的横坐标 $x_2^{\prime }>x_2$

$(x_2^{\prime }-\frac{lnn}{n})nlnn=t$

$x_2^{\prime }=\frac{t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}$

$\therefore |x_1-x_2|<x_2^{\prime }-x_1^{\prime }=-\frac{t}{1-n}+\frac{t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}$

下证 $-\frac{t}{1-n}+\frac{t}{nlnn}<\frac{2t}{nlnn}$

$\because t<0$

$\therefore \frac{-1}{1-n}+\frac{1}{nlnn}>\frac{2}{nlnn}$

$\frac{-1}{1-n>\frac{1}{nlnn}}$

$\frac{1}{n-1>nlnn}$$n-1<nlnn$

令 $G(n)=n-1-nlnn$

$G^{\prime }(n)=1-(1+ln)$

$=-lnn$

$\therefore 0<x<1,G^{\prime }(n)>0,G(n)\uparrow$

$x>1,G^{\prime }(n)<0,G(n)\downarrow$

$G(n)>G(1)=0$

得证。