难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题均值不等式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

设 $l:y=kx+m$

$S_{\mathrm{△}OPQ}=\frac{1}{2}|x_1-x_2||m|$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1,2x^2+3y^2-6=0\\ y=kx+m,2x^2+3(kx+m{)}^2-6=0\end{array}$

$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{4\times 3\times 2(3k^2+2-m^2)}}{3k^2+2}$

所以 $\frac{\sqrt{24(3k^2+2-m^2)}}{3k^2+2}|m|=\sqrt{6}$

$\sqrt{24(3k^2+2-m^2)m^2}=(3k^2+2{)}^2$

$(3k^2+2)x^2+6kmx+3m^2-6=0$

令 $3k^2+2=t$

$4(t-m^2)m^2=t^2$

$4(t{m}^2-m^4)=t^2$

$t^2-4t{m}^2+4m^4=0$

$(t-2m^2{)}^2=0$

所以 $t=2m^2=3k^2+2$

$x_1+x_2=\frac{-6km}{3k^2+2},x_1{x}_2=\frac{3m^2-6}{3k^2+2}$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$

$=\frac{36k^2{m}^2}{(3k^2+2{)}^2}-\frac{6m^2-12}{3k^2+2}$

$=\frac{9k^2}{m^2}-\frac{3m^2-6}{m^2}$

$=\frac{9k^2-3m^2+6}{m^2}=\frac{6m^2-3m^2}{m^2}=3$

$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2m$

$=\frac{-6k^{2}m+6k^{2}m+4m}{3k^2+2}=\frac{4m}{3k^2+2}$

$x=\frac{y-m}{k}$

$2(\frac{y-m}{k}{)}^2+3y^2-6=0$

$y_1{y}_2=\frac{\frac{2m^2}{k^2}-6}{\frac{2}{k^2}+3}=\frac{2m^2-6k^2}{2+3k^2}=\frac{2m^2-6k^2}{2m^2}$

$y_1^2+y_2^2=(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2$

$=\frac{4}{m^2}-\frac{2m^2-6k^2}{m^2}$

$=\frac{4-2m^2+6k^2}{m^2}=\frac{4m^2-2m^2}{m^2}=2$

TIP

有时候关于两个变了的关系式如果不化到最简，那么最后算出来的式子将会消不掉。让人困惑。

TIP

包含 $k,m$ 的两个变量的式子，要化简 $k$ 与 $m$ 的关系，可能不太好求；

但求 $k+c$ 与 $m$ 的关系可能就很好求，方法就是令 $k+c$ 为一个新元 $t$，寻找 $t$ 与 $m$ 的最简关系。

TIP

含有 $k,m$ 两个变量的直线，写 OAB 的面积时，必然有下面这几步操作，把式子都放到根号里面，然后分离常数，换元。

$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{4\times 3\times 2(3k^2+2-m^2)}}{3k^2+2}$

$=\sqrt{\frac{24(3k^2+2-m^2)}{(3k^2+2{)}^2}}$

$=\sqrt{24(\frac{1}{3k^2+2}-\frac{m^2}{(3k^2+2{)}^2})}$

令 $t=3k^2+2$

则 $|x_1-x_2|=\sqrt{24(\frac{1}{t}-\frac{m^2}{t^2})}$

解（2）

$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

$PQ=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{24m^2}}{2m^2}=\sqrt{\frac{6(k^2+1)}{m^2}}=\sqrt{\frac{6(\frac{2m^2-2}{3}+1)}{m^2}}=\sqrt{\frac{2\times (2m^2+1)}{m^2}}$

$OM=\sqrt{\frac{(x_1+x_2{)}^2}{4}+\frac{(y_1+y_2{)}^2}{4}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9k^2}{m^2}+\frac{4}{m^2}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9k^2+4}{m^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{6m^2-2}{m^2}}$

$|OM|\cdot |OQ|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2(3m^2-1)(2m^2+1)}{m^4}}$

$=\sqrt{\frac{(3m^2-1)(2m^2+1)}{m^4}}$

$=\frac{\sqrt{(3m^2-1)(2m^2+1)}}{m^2}$

因为 $\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$

所以 $|OM|\cdot |OQ|⩽\frac{\frac{5m^2}{2}}{m^2}=\frac{5}{2}$

均值不等式

$\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$，

要先说二分之……，不然漏掉。

解（3）

设 $D(x_1,y_1),E(x_2,y_2),G(x_3,y_3)$

由（1）得，

$\{\begin{array}{l}{x}_1^2+x_2^2=3\\ y_1^2+y_2^2=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}_1^2+x_3^2=3\\ y_1^2+y_3^2=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}_2^2+x_3^2=3\\ y_2^2+y_3^2=2\end{array}$

解得 $x_1=x_2=x_3=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$y_1=y_2=y_3=\pm 1$

所以一定会有一对点关于原点对称，使得题设不成立。

所以不存在 $D,E,G$ 三个点。

少见的结论不成立问题。

TIP

有 3 个问的题，90% 的可能要用到前面的结论。