难度： 困难

标签： 极值点偏移导数问题对数均值不等式飘带函数齐次式消元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{lnx}{x}$，若 $f(x)=a$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，试证明：

1. 讨论 $f(x)$ 的单调性
2. 求 a 的取值范围
3. $\frac{2}{a}<x_1+x_2<\frac{-2lna}{a}$
4. $e^2<x_1{x}_2<\frac{1}{a^2}$
5. $2x_1+x_2>\frac{3}{a}$
6. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>2a$
7. $x_1{x}_2>\frac{e}{a}$
8. $x_1+x_2>\frac{3}{a}-e$
9. $ln{x}_1+ln{x}_2>1-lna\mathrm{或}{x}_1+x_2>\frac{1-lna}{a}$
10. $x_1^2{x}_2+x_2^2{x}_1>\frac{2e}{a^2}$
11. $x_1>\frac{1+\sqrt{1-ae}}{a}$
12. $x_2<\frac{1-\sqrt{1-ae}}{a}$
13. $|x_1-x_2|>\frac{2\sqrt{1-ae}}{a}$
14. $|x_1-x_2|>2\sqrt{\frac{a(1-ae)}{a}}$

证 $\frac{2}{a}<x_1+x_2$

$f(x_1)=f(x_2)=a$

$\{\begin{array}{l}\frac{ln{x}_1}{x_1}=a\mathrm{①}\\ \frac{ln{x}_2}{x_2}=a\mathrm{②}\end{array}$

注意：不要将上面这两个式子直接相减，否则就相当于 $0-0$，没啥意义。

$\{\begin{array}{l}ln{x}_1=a{x}_1\mathrm{①}\\ ln{x}_2=a{x}_2\mathrm{②}\end{array}$

两式相减得到一个关于包含 a 的式子。

一般都是用减法，凑出齐次式。加法一般用来和积转化，证明的东西其实是一样的。

$\mathrm{①}-\mathrm{②}$，得

$ln\frac{x_1}{x_2}=a(x_1-x_2)$

所以证明 $\frac{2}{a}<x_1+x_2$

即证 $\frac{2}{\frac{ln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}}<x_1+x_2$

化简

$\frac{2}{ln\frac{x_1}{x_2}}<\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}=\frac{\frac{x_1}{x_2}+1}{\frac{x_1}{x_2}-1}$

令 $\frac{x_1}{x_2}=t,t>1$

即证 $\frac{2}{lnt<\frac{t+1}{t-1}}$

化简

$lnt>\frac{2(t-1)}{t+1}$

令 $H(t)=lnt-\frac{2(t-1)}{t+1}$

$H^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-2\cdot \frac{2}{(t+1{)}^2}$

所以在 $t>1$ 上 $H^{\prime }(t)>0,H(t)$ 单调递增

$H(1)=0$

所以 $H(t)>0$

即 $lnt>\frac{2(t-1)}{t+1}$

题目得证。

证 $x_1{x}_2<\frac{1}{a^2}$

要证 $x_1{x}_2<\frac{1}{a^2}$

即证 $\sqrt{x_1{x}_2}<\frac{1}{a}$

因为

$\{\begin{array}{l}ln{x}_1=a{x}_1\\ ln{x}_2=a{x}_2\end{array}$

所以 $ln\frac{x_1}{x_2}=a(x_1-x_2)$

即证

$\sqrt{x_1{x}_2}<\frac{x_1-x_2}{ln\frac{x_1}{x_2}}$

$ln\frac{x_1}{x}<\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}-\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}$

令 $\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}=t,x_1>x_2>1,t>1$

即证 $2lnt<t-\frac{1}{t}$

令 $G(t)=2lnt-t+\frac{1}{t}$

$G^{\prime }(t)=\frac{2}{t}-1-\frac{1}{t^2}$

$=-\frac{(t-1{)}^2}{t^2}<0$

所以 $G(t)$ 在 $(1,+\mathrm{\infty })$ 上单减

$G(1)=0$

所以 $G(t)<0$

所以 $2lnt<t-\frac{1}{t}$

得证。