07 直线倾斜角的理解

说说

直线的斜率 $k$ 也就是直线与 $x$ 轴正半轴形成的夹角的正切 $tan\theta$。

$\theta \in [0,\pi )$

当 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}),k\in [0,+\mathrm{\infty })$

当 $\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi ),k\in (-\mathrm{\infty },0)$。

例题

例题 1

直线 $l:\sqrt{3}x-y+2=0$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，把 $l$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 ${45}^{\circ }$ 得直线 $m$，$m$ 的倾斜角为 $\alpha$，则 $cos\alpha =$().

解：

$-y+2=0,y=2$

所以 $A(0,2)$

因为 $k=\sqrt{3}$

所以 $\theta ={60}^{\circ }$

$\alpha ={60}^{\circ }-{45}^{\circ }={15}^{\circ }$

$cos\alpha =cos{15}^{\circ }=cos({60}^{\circ }-{45}^{\circ })$

$=cos{60}^{\circ }cos{45}^{\circ }+sin{60}^{\circ }sin{45}^{\circ }$

$=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

TIP

$cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB$ 而不是 $cos(A-B)=cosAcosB-sinAsinB$！！

例题 2

已知点 $A(\sqrt{3},2),B(4,-3)$，若直线 $l$ 过点 $P(0,1)$ 与线段 $AB$ 相交，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是（）。

解：

$\theta \in [0,\frac{\pi }{6}]\bigcup [\frac{3\pi }{6},\pi )$

例题 3

已知点 $P$ 在直线 $x-2y+1=0$ 上，点 $Q$ 在直线 $x-2y+3=0$ 上，线段 $PQ$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，且 $-1\le x_0\le 2$，则 $\frac{y_0}{x_0}$ 的取值范围是____.

解：

假设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$

则 $P(x_1,\frac{1}{2}{x}_1+\frac{1}{2}),Q(x_2,\frac{1}{2}{x}_2+\frac{3}{2})$。

$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{1}{2}\frac{x_1+x_2}{2}+1)$

把 $\frac{x_1+x_2}{2}$ 看作一个整体 $t$，则 $M(t,\frac{1}{2}t+1)$

所以 $M$ 在直线 $y=\frac{1}{2}x+1$ 上运动，且 $-1\le x\le 2$。

如果求 $M$ 的直线看不懂，那么也可以找一个 $PQ$ 的中点，用点斜式求出直线方程。比如 $PQ$ 中点 $(0,1)$，

那么直线方程为 $y=\frac{1}{2}x+1$.

当 $k>0,k_{min}=\frac{1+1}{2}=1,k_{max}=+\mathrm{\infty }$.

当 $k<0,k_{min}=-\mathrm{\infty },k_{max}=\frac{\frac{1}{2}}{-1}=-\frac{1}{2}$

所以 $k\in (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}]\bigcup [1,+\mathrm{\infty })$