难度： 困难

标签： 极值点偏移导数问题对数均值不等式飘带函数齐次式消元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{lnx}{x}$，若 $f(x)=a$ 有两个不同的零点，$x_1,x_2$，试证明：

III. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>2a$

解

$f(x)=\frac{lnx}{x},x>0$

$\{\begin{array}{l}\frac{ln{x}_1}{x_1}=a\\ \frac{ln{x}_2}{x_2}=a\end{array}$

$\{\begin{array}{l}ln{x}_1=a{x}_1\mathrm{①}\\ ln{x}_2=a{x}_2\mathrm{②}\end{array}$

$\mathrm{①}-\mathrm{②}$，得 $ln\frac{x_1}{x_2}=a(x_1-x_2)$

要证 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>2a$

即证 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>\frac{2ln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}$

设 $x_1>x_2>0$

即证 $\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}>2ln\frac{x_1}{x_2}$

化简

$ln\frac{x_1}{x_2}<\frac{1}{2}(\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1})$

令 $\frac{x_1}{x_2}=t,t>1$

即证 $lnt<\frac{1}{2}(t-\frac{1}{t})$

令 $g(t)=lnt-\frac{1}{2}(t-\frac{1}{t})$

$g^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{t^2})$

$=\frac{1}{t}-\frac{t^2+1}{2t^2}$

$=\frac{-t^2+2t-1}{2t^2}=\frac{-(t-1{)}^2}{2t^2}<0$

所以 $g(t)$ 在 $(1,+\mathrm{\infty })$ 上单减，$g(1)=0$

所以 $g(t)<0$，

即 $lnt<\frac{1}{2}(t-\frac{1}{t})$

问题得证。