07 解题 - 第二问思路整理

说说

解三角形问题的第二问思路：

$\{\begin{array}{l}\mathrm{最}\mathrm{值}\mathrm{问}\mathrm{题}\\ \mathrm{恒}\mathrm{等}\mathrm{变}\mathrm{换}（\mathrm{诱}\mathrm{导}\mathrm{公}\mathrm{式}）\\ \mathrm{图}\mathrm{形}（\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{画}\mathrm{图}）\end{array}$

解三角相关问题，一定不能死板！正弦余弦都可以用用，思路一定要广。

例题

例题 1（最值问题）

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $cos2B+1=2si{n}^2\frac{B}{2}$

(1) 求角 $B$ 的大小；

(2) 若 $b=\sqrt{3}$，求 $a+c$ 的最大值。

解：

如果第二问不用余弦来解，用正弦也是可以的。

因为 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{\pi }{3}}=2$

所以 $a+c=2sinA+2sinC$

所以我们就将问题转换为了求 $sin$ 角的值域问题。

这也是一种思路！

$a+c=2(sinA+sin(\frac{2\pi }{3}-A))$

$=2(\frac{\sqrt{2}}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA)+\frac{1}{2}sinA$

$=2\sqrt{3}sin(A+\frac{\pi }{6})\le 2\sqrt{3}$

例题 2（最值问题）

若 $a,b,c$ 为锐角 $\mathrm{△}ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 的对边，且 $si{n}^B+si{n}^C-si{n}^{(}B+C)=sinBsinC$.

(1) 求角 $A$；

(2) 若 $b=2$，求 $\mathrm{△}ABC$ 面积的取值范围。

解：

（1） $A=\frac{\pi }{3}$

（2）

画图，利用图像来解。

例题 3（恒等变换问题）

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $b+c=2a,3csinB=4asinC.$

(1) 求 $cosB$ 的值；

(2) 求 $sin(2B+\frac{\pi }{6})$ 的值。

例题 4（恒等变换问题）

已知 $A,B,C$ 为 $\mathrm{△}ABC$ 的三个内角，$a,b,c$ 是其三条边，$a=2,cosC=-\frac{1}{4}$，

（1）若 $sinA=2sinB$，求 $b,c$；

（2）若 $cos(A-\frac{\pi }{4})=\frac{4}{5}$，求 $c$.

例题 5 (恒等变换问题)

$\mathrm{△}ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $co{s}^2(\frac{\pi }{2}+A)+cosA=\frac{5}{4}$.

(1) 求 $A$。

(2) 若 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，证明：$\mathrm{△}ABC$ 是直角三角形。

解：

（1）$A=\frac{\pi }{3}$

（2）

$sinB-sinC=\frac{\sqrt{3}}{3}sinA=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$

$sinB-sin(\frac{2}{3}\pi -B)=\frac{1}{2}$

$sinB-(\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB)=\frac{1}{2}$

$\therefore sin(B-\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}$

$\because A=\frac{\pi }{3}$

$\therefore B\in (0,\frac{2}{3}\pi )$

$B-\frac{\pi }{3}\in (-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3})$

$\therefore B-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$

$\therefore B=\frac{\pi }{2}$

例题 6

$\mathrm{△}ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b,c$ 且满足 $(2a-c)cosB=bcosC$，

（1）求角 $B$ 的大小；

（2）若 $\mathrm{△}ABC$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 且 $b=\sqrt{3}$，求 $a+c$ 的值。

解：

（1）$A=\frac{\pi }{3}$

（2）

例题 7

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a=3,c=\sqrt{2},B={45}^{\circ }$.

(1) 求 $sinC$ 的值。

(2) 在边 $BC$ 上取一点 $D$，使得 $cos\mathrm{\angle }=-\frac{4}{5}$，求 $tan\mathrm{\angle }DAC$ 的值。

解：

(1)

(2)

第一种方法是根据正弦定理，

$\frac{DC}{sinB}=\frac{AC}{sin\mathrm{\angle }ADC}$

要求 $DC$ 就要求 $BD$，也能求出来。

第二种方法就是，

我们相当于已知 $\mathrm{\angle }ADC,\mathrm{\angle }C$，那么也就知道了 $\mathrm{\angle }DAC$，

根据 $sin\mathrm{\angle }DAC=sin(\mathrm{\angle }ADC+C)$ 求出它的正切值。

例题 8

在三角形 $ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 上一点，$AD=CD,BA=7,BC=8$.

(1) 若 $B={60}^{\circ }$，求 $\mathrm{△}ABC$ 外接圆的半径 $R$;

(2) 设 $\mathrm{\angle }CAB-\mathrm{\angle }ACB=\theta$，若 $\mathrm{\angle }BAD$ 为锐角，$sin\theta =\frac{3\sqrt{3}}{14}$，求 $\mathrm{△}ABC$ 的面积。

解：