圆锥曲线的切线方程

假设有一个点 $M(x_0,y_0)$ 在椭圆上，我们要们要求过这个点切线，该怎么求呢？

有两种办法：

1. 令切线为 $y=kx+m$，然后联立曲线方程，得出 $\mathrm{\Delta }=0$（95% 的做法）
2. 应函数求导

假设有椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，椭圆上有 1 点 $M(x_0,y_0)$，那么过 M 点的切线为

$l:\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$，

也就是拿出一个 $x$ 变为 $x_0$，拿出一个 $y$ 变为 $y_0$

结论

如果在题目中看见 $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$ 这种形式的直线，我们要明白它其实表示过 $(x_0,y_0)$ 的切线即可。

然后我们自己设线，比如设线 $y=kx+m$，然后联立曲线方程，得出 $\mathrm{\Delta }=0$（95% 的做法），算出 $k,m$ 的关系式，在后面能用到的地方消元。

巧记切线方程

把其中一个 $x$ 换成 $x_0$，其中一个 $y$ 换成 $y_0$ 就可以了。

曲线	曲线方程	过 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程
圆心在原点的圆	$x^2+y^2=r^2$	$x_{0}x+y_{0}y=r^2$
圆心不在原点的圆	$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$	$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$
椭圆	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
双曲线	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
抛物线	$y^2=2px$	$y_{0}y=p(x+x_0)$
抛物线	$x^2=2py$	$x_{0}x=p(y+y_0)$

TIP

对于高中范围内的任意二次曲线 $A{x}^2+B{y}^2+2Cx+2Dy+E=0$，过其上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为

$A{x}_{0}x+B{y}_{0}y+C(x_0+x)+D(y_0+y)+E=0$