02_求通项公式

总结 1

1 相邻两项 + 常数关系

遇到相邻两项 + 一个常数的关系。

2 相邻两项 + 一次函数关系

3 相邻两项 + 指数函数关系（2 种情况）

都是式子两边同除指数的 +1 次幂。

4 同除 $a_n{a}_{n+1}$

5 取倒数

6 相邻三项，构造相邻两项的关系（或使用瞪眼法）

但注意，有时候不一定需要算出通项公式。有可能只是根据此关系式推导出某一项的奇偶性。比如这道题：

解

from

7 隔项问题

类似这种：$a_n\cdot a_{n+1}=2n=f(n)$

例题

特征方程法

推导

总结

例题 1（裴波那切数列）

例题 2

总结 2

相邻两项为函数形式（等差数列形式）

遇到数列的相邻两项之差为一个关于 n 的函数形式，使用累加法。

TIP

必须系数相同，即必须是 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 这种形式

若系数不相同，则只能使用待定系数法。例如已知 $a_1=1,a_{n+1}+a_n=2n$，求 $a_n$ 的通项公式。

举例：

有数列关系

$a_n=a_{n-1}+2n-1,n\ge 2$

TIP

如果题目给出的是 $a_{n+1}=a_n+2n+1$，我们最好给它变成 $a_n=a_{n-1}+2n-1$ 的形式。

使用累加法，

$\{\begin{array}{l}{a}_n-a_{n-1}=2n-1\\ a_{n-1}-a_{n-2}=2n-3\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_2-a_1=2\times 2-1=3\end{array}$

左右两边同时相加，得

$a_n-a_1=\frac{(n-1)(3+2n-1)}{2}$

$a_n-a_1=n^2-1$

令 $a_1=1$

则 $a_n=n^2$

遇到指数也可以

遇见 $a_{n+1}=a_n+c{n}^2+an+b$ 这类题型，都可以使用累加法。

但如果等式右边有指数比如 $a_{n+1}=a_n+2\cdot 3^n+1$，还能用累加法吗？依然可以！

$\{\begin{array}{l}{a}_n-a_{n-1}=2\cdot 3^{n-1}+1\\ ...\\ a_2-a_1=2\cdot 3^1+1\end{array}$

$a_n-a_1=2(3^1+3^2+...+3^{n-1})+n-1$

使用等比数列求和公式：

$=2\cdot \frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}+n-1$

$=3^n+n-1$

系数不是 1

如果遇到 $a_n$ 与 $a_{n-1}$ 前面的系数不一样，这类题型该怎么做呢？

比如 $a_{n+1}=3a_n+2\cdot 3^n+1$

TIP

如果式子变为 $a_{n+1}=2a_n+2\cdot 3^n+1$，那么就做不出来了。因为除后两边都不是对称的式子。

两边同除 $3^{n+1}$，得

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3^{n+1}}$

令 $b_n=\frac{a_n}{3^n}$

所以 $b_{n+1}=b_n+\frac{2}{3}+(\frac{1}{3}{)}^{n+1}$

$\{\begin{array}{l}{b}_n-b_{n-1}=\frac{2}{3}+(\frac{1}{3}{)}^n\\ ...\\ ...\\ b_2-b_1=\frac{2}{3}-{\frac{(1}{3)}}^2\end{array}$

$b_n-b_1=\frac{2(n-1)}{3}+(\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{1}{3}{)}^3+...+(\frac{1}{3}{)}^n$

$=\frac{2(n-1)}{3}+\frac{[1-(\frac{1}{3}{)}^{n-1}]}{6}$

$b_n=\frac{2}{3}n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3^n}$

$a_n=3^n\cdot b_n=2\cdot 3^{n-1}n+\frac{3^n}{2}-\frac{1}{2}$

等比数列形式

类似等比数列形式的题，都可以使用累乘法。

例子：

如有 $a_n=2n\cdot 5^{n-1}{a}_{n-1},n\ge 2$，则 $a_n=$？

$\{\begin{array}{l}{a}_n=2n\cdot 5^{n-1}{a}_{n-1}\\ a_{n-1}=2(n-1)\cdot 5^{n-2}\cdot a_{n-2}\\ ...\\ ...\\ a_2=2\cdot 2\cdot 5a_1\end{array}$

$a_n=2^{n-1}\cdot n!\cdot 5^{\frac{n(n-1)}{2}}$

例子：

例题：

$a_1=1$，$a_n=a_1+2a_2+3a_3+4a_4+...+(n-1)a_{n-1}(n\ge 2)$，求 $a_n$。

解：

根据题目得，

$a_{n-1}=a_1+2a_2+...+(n-2)a_{n-2},(n\ge 3)$（n 的取值范围一定不能搞错）

所以 $n\ge 3$ 时，$a_n-a_{n-1}=(n-1)a_{n-1},(n\ge 3)$

$a_n=n{a}_{n-1},(n\ge 3),(n\ge 3)$

这时再使用累乘法，

$\{\begin{array}{l}{a}_n=n{a}_{n-1}\\ a_{n-1}=(n-1)a_{n-2}\\ ...\\ ...\\ a_3=3a_2\end{array}$

两边各自相乘，得

$a_n=4\times 5\times ...n\cdot a_3$

$a_n=\frac{n!}{2}{a}_2$

有题目得，$a_1=1,a_2=a_1+2a_2$ 错了，要根据通项公式来求。

由题目得，$a_2=(2-1)a_{2-1}=1a_1=1$

所以 $a_2=1$

所以 $a_n=\frac{n!}{2},n⩾3$

当 n = 1 或 2 时，$\frac{n!}{2}$ 并不能正确表示出 $a_1,a_2$ 的值，

所以

$a_n=\{\begin{array}{l}1,n=1,2\\ \frac{n!}{2},n⩾3\end{array}$

待定系数法

多了一个常数

什么时候用待定系数法呢？

例如有 $a_{n+1}=a_n+4$，那么它是一个等差数列。

例如有 $a_{n+1}=3a_n$，那么它是一个等比数列。

假如我们在等比数列式子中加了一个常数 4，变成

$a_{n+1}=3a_n+4$，那么它是什么数列呢？

如果我们使用累加法求解它的通项公式，会发现将 $a_n$ 前面的系数为 3，消不掉。

TIP

与之相对，如果系数相同。也不能使用待定系数法，而应使用累加或累乘法。

因为系数相同使用待定系数法，会发现设的系数会被约去，解不出来。

使用累乘法也约不掉。

这个时候我们就可以使用待定系数法，将它构造成一个等比数列。

第一步，我们设出一个常数 $\alpha$

左边写成 $a_{n+1}+\alpha$ 的形式，右边写成 $3(a_n+\alpha )$ 的形式。

即 $a_{n+1}+\alpha =3(a_n+\alpha )$

如果我们令 $b_n=a_n+\alpha$，则 $b_{n+1}=3b_n$，这是一个等比数列。

我们将式子打开，变成

$a_{n+1}=3a_n+3\alpha -\alpha$

为了保证和原式子相同，我们就让 $2\alpha =4$，即 $\alpha =2$

所以原式变为

$a_{a+1}+2=3(a_n+2)$

$b_{n+1}=3b_n$

$\therefore b_n=b_1\cdot 3^{n-1}$

假设 $a_1=1$

$b_1=1+2=3$

$b_n=3^n=a_n+2$

$a_n=3^n-2$.

多了一个变量 C

比如 $a_{n+1}=m{a}_n+C$

m 为系数

则设 $a_{n+1}+\lambda =m(a_n+\lambda )$

多了一个变量 n

比如有题目 $a_{n+1}=3a_n+4n$，让我们求解它的通项同时。

我们需要凑两个未知数 $\alpha$ 和 $\beta$。

原始等于

$a_{n+1}+A(n+1)+B=\mathrm{系}\mathrm{数}(a_n+An+B)$

化简得

$a_{n+1}=3a_n+3\alpha n-\alpha n-\alpha +3\beta -\beta =3a_n+2\alpha n+2\beta -\alpha$

$\{\begin{array}{l}2\alpha =4\\ 2\beta -\alpha =0\end{array}\{\begin{array}{l}\alpha =2\\ \beta =1\end{array}$

所以可以将原始改写成

$a_{n+1}+2(n+1)+1=3(a_n+2n+1)$

接下来的步骤就很简单了。

多了一个变量 n 的平法

比如题目给出条件 $a_{n+1}=3a_n+4n^2$，

那么我们可以这样待定系数

$a_{n+1}+r(n+1{)}^2+\alpha (n+1)+\beta =3(a_n+r{n}^2+\alpha n+\beta )$

多了一个指数

同理

$a_{n+1}=2a_n+3\times 5^2$

变成

$a_{n+1}+\alpha 5^{n+1}=2(a_n+\alpha 5^n)$

换元法

当一个题目中某个东西多次出现，或则有一个东西特别讨厌的时候（比如开根，分数），就可以考虑使用换元法。换元法不一定能解出题，但能给你多提供一个思路。

例如：

$a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})$

令 $\sqrt{1+24a_n}=b_n$

$a_n=\frac{b_n^2-1}{24}$

原式就变为

$\frac{b_{n+1}^2}{24}=\frac{1}{16}(1+\frac{b_n^2}{6}+b_n)$

$\frac{2}{3}{b}_{n+1}^2-1=1+\frac{b_n^2-1}{6}+b_n$

$4(b_{n+1}^2-1)=6+b_n^2-1+6b_n=b_n^2+6b_n+5$

$4b_{n+1}^2=b_n^2+6b_n+9=(b_n+3{)}^2$

$2b_{n+1}=b_n+3$

$b_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_n+\frac{3}{2}$

又是一个等比数列加一个常数项的体型，所以我们可以再使用待定系数法求解 $b_n$ 的通项公式。

总结 3