难度： 简单

标签： 权方和不等式基本不等式1 的妙用最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

设 $a>0,b>0$，若 $a+b=2$，则 $\frac{1}{a-1}+\frac{2}{b}$ 的最小值为（）

$A.3+2\sqrt{2}$

$B.6$

$C.4\sqrt{2}$

$D.2\sqrt{2}$

解

法一，1 的妙用：

$a+b=2,a-1+b=1$

$\mathrm{原}\mathrm{式}=(\frac{1}{a-1}+\frac{2}{b})(a-1+b)$

$=1+\frac{1}{a-1}+\frac{2(a-1)}{b}+2$

$⩾3+2\sqrt{2}$

当 $2(a^2-2a+1)=b^2,a+b=2$ 时取等

即 $2(a^2-2a+1)=a^2-4a+4$

$a^2-2=0$

$a=\sqrt{2}$

$b=2-\sqrt{2}$

法二，权方和不等式：

$\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{1^2}{a-1}+\frac{(\sqrt{2}{)}^2}{b}⩾\frac{(1+\sqrt{2}{)}^2}{a+b-1}=3+2\sqrt{2}$

当 $b=\sqrt{2}a-\sqrt{2},a+b=2$ 时取等。

即 $a=\sqrt{2},b=2-\sqrt{2}$