05 三角形中的取值范围问题

说说

之前的要求的问题都是定值问题，给了一个等式，然后求值。

那么如果遇到不等式求取值范围的问题呢？

首先我们要知道三角形的不等关系：

$\{\begin{array}{l}\mathrm{两}\mathrm{边}\mathrm{之}\mathrm{和}\mathrm{大}\mathrm{于}\mathrm{第}\mathrm{三}\mathrm{边}\{\begin{array}{l}b+c>a\\ a+b>c\\ a+c>b\end{array}\\ \mathrm{大}\mathrm{边}\mathrm{对}\mathrm{大}\mathrm{角}\\ \mathrm{锐}\mathrm{角}\mathrm{钝}\mathrm{角}\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{条}\mathrm{件}\{\begin{array}{l}\mathrm{正}\mathrm{弦}\mathrm{永}\mathrm{远}\mathrm{大}\mathrm{于}\mathrm{零}\\ cosA>0,\mathrm{当}A\in (0,\frac{\pi }{2})\\ cosA<0,\mathrm{当}A\in (\frac{\pi }{2},\pi )\end{array}\end{array}$

TIP

抛转引玉，后面的路就要靠自己走了。

例题

在锐角 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }C$ 为最大角，且 $sinA:sinB:sinC=2:(1+k):2k$，则实数 $k$ 的取值范围是（）。

解：

因为 $sinA:sinB:sinC=2:(1+k):2k$

设 $a=2t,b=(1+k)t,c=2kt$

则

$\{\begin{array}{l}a+b>c⟹2+1+k>2k,\mathrm{即}3>k\\ c\ge b⟹2k\ge 1+k,\mathrm{即}k\ge 1\\ c\ge a⟹2k\ge 2,\mathrm{即}k\ge 1\\ c<\frac{\pi }{2}⟹cosC>0,\mathrm{即}\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}>0\end{array}$

$\therefore 2^2+(1+k{)}^2-(2k{)}^2>0$

$4+1+2k+k^2-4k^2>0$

$0>3k^2-2k-5$

$\therefore (k+1)(3k-5)<0$

$\therefore -1<k<\frac{5}{3}$