06 二项式定理与通项

说说

对于 $(a+b{)}^n$ 这种和的几次方，我们可以使用杨辉三角来推出它的系数与项。

但是通过杨辉三角还是有点麻烦，因为每次都需要写一大堆数字。

其实我们还可以通过组合来写出这种 $(a+b{)}^n$ 的系数与通项。

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

公式，按照 $a$ 的降次，$b$ 的升次进行书写。

$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-1}{b}^2+...+C_n^n{b}^n$ （一共有 $(n+1)$ 项）

$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{b}^i{a}^{n-i}$

上面这个公式就叫做二项式定理。

其中 $C_n^k$ 叫做二项式系数。不包括后面的 $ab$。

通项公式：

$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k,k=0,1,...,n$

当 $k=2$ 时，指的是第三项 $T_3$。

例题 1

$(x-\frac{2}{x}{)}^5$ 的展开式中 $\frac{1}{x}$ 的系数为（）。

$A.-40$

$B.160$

$C.-80$

$D.80$

解：

通项为 $T_{k+1}=C_5^k{a}^{n-k}{b}^k$

$=C_5^k{x}^{5-k}(-\frac{2}{x}{)}^k$

$=C_5^k(-2{)}^k{x}^{5-2k}$

$5-2k=-1$

$k=3$

问的是系数不是二项式系数！

所以系数为 $C_5^3(-2{)}^3=\frac{5\times 4}{1\times 2}\cdot (-8)=-80$