难度： 困难

标签： 导数问题恒成立问题未知极值点问题最值问题分类讨论

是否做正确： 做错了

是否属于易错题： 易错题

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $f(x)=e^x$

若 $x\ge 0$ 时，不等式 $(x-1)f(x)\ge m{x}^2-1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

解法一，分类讨论

$(x-1)f(x)⩾m{x}^2-1,x⩾0$ 恒成立

$(x-1)e^x⩾m{x}^2-1,x⩾0$ 恒成立

$(x-1)e^x-m{x}^2+1⩾0,x⩾0$ 恒成立

令 $g(x)=(x-1)e^x-m{x}^2+1$，

则满足 $g(x{)}_{min}⩾0,x⩾0$ 恒成立

$g^{\prime }(x)=e^x+(x-1)e^x-2mx$

$=x{e}^x-2mx$

$=x(e^x-2m)$

现在讨论 $g^{\prime }(x)$ 与 0 的关系。

进行分类讨论，注意分类一定要完整！有些式子等于 0 不一定有解，一定要分清楚。

① 当 $e^x-2mx$ 无解，即 $m⩽0$ 时

$x⩾0,g^{\prime }(x)⩾0$

$\therefore g(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 单增，

$g(x{)}_{min}=g(0)=0$

此分类符合题意。

② 当 $e^x-2mx$ 有解且在另一个极值点左边，即 $0<m⩽\frac{1}{2}$ 时

在 $x⩾0$ 时 $g^{\prime }(x)⩾0$

$\therefore g(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 单调递增

$g(x{)}_{m}in=g(0)=0⩾0$

此分类符合题意。

③ 当 $e^x-2mx$ 有解且在另一个极值点右边，即 $m>\frac{1}{2}$ 时

存在 $x_0$ 使得 $e^{x_0}-2m=0$

$x\in (0,x_0),g^{\prime }(x)<0,g(x)\mathrm{单}\mathrm{减}$

$x\in (x_0,+\mathrm{\infty }),g^{\prime }(x)>0,g(x)\mathrm{单}\mathrm{增}$

又因为 $g(0)=0$

所以 $g(x{)}_{min}=g(x_0)<0$

所以此分类不符题意，不能取 $m>\frac{1}{2}$

综上，$m\in (-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]$

方法二，洛必达法则

第一个方法里，我们对 m 的取值进行了分类讨论。这里我们使用参数分离的方法。

$(x-1)e^x⩾m{x}^2-1,x⩾0$ 恒成立

当 $x=0$ 时，不等式恒成立。

当 $x>0$ 时，$m⩽\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$ 恒成立，

令 $g(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$

那么当 $x>0$ 时，$m⩽g(x{)}_{min}$

$g^{\prime }(x)=\frac{[e^x+(x-1)e^x]x^2-[(x-1)e^x+1]\cdot 2x}{x^4}$

$=\frac{x^2{e}^x-2(x-1)e^x-2}{x^3}$

$=\frac{(x^2-2x+2)e^x-2}{x^3}$

令 $h(x)=(x^2-2x+2)e^x-2$

$h^{\prime }(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=x^2{e}^x$

在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上 $h^{\prime }(x)>0$

所以在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上 $h(x)$ 单调递增

因为 $h(0)=0$

所以在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上 $g^{\prime }(x)>0$

所以在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上 $g(x)$ 单调递增。

$g(x{)}_{min}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x+(x-1)e^x}{2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x{e}^x}{2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$

所以 $m\in (-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]$

易错点

我们想要知道函数最值与零的关系。

直接将最值与 0 进行比较，看不出来大小关系。

但是我们可以通过单调性和端点与 0 的关系间接得出 $g(x_0)$ 与 0 的关系。但是我一开始就忽略了这一点。

比如最值在两个端点中间，左边的端点纵坐标为 0，那么中间的最值纵坐标一定小于 0。