16 题型技巧课：圆形磁场最小面积问题

题型特征

已知进出速度方向，求圆形磁场最小面积。

分析思路

圆形磁场恰好能覆盖住圆轨迹即可。所以以弦长为直径的磁场面积最小。

核心就是求弦长。求弦长就是求弦切角。

而弦切角和速度偏转角有这样的关系：

角度关系

其实就是三角形的两个内角之和等于第三个角的补角结论！

$$\mathrm{弦}\mathrm{切}\mathrm{角}=\frac{\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{偏}\mathrm{转}\mathrm{角}}{2}$$

或

$$2\mathrm{弦}\mathrm{切}\mathrm{角}=\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{偏}\mathrm{转}\mathrm{角}$$

TIP

注意：速度偏转角要平移速度到箭头屁股在一起，分清锐角钝角。

解题步骤

1. 平移速度，求速度偏转角
2. 根据 $\mathrm{弦}\mathrm{切}\mathrm{角}=\frac{\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{偏}\mathrm{转}\mathrm{角}}{2}$，求弦切角
3. 代入弦长公式求弦长
4. 计算面积

例题

题 1

解

题 2

解

$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_0^2}{r}$

$r=\frac{m{v}_0}{qB}$

设磁场的半径为 $R$，粒子运动轨迹的半径为 $r$，设弦长为 $l$

由几何关系得，

$R=\frac{l}{2}$

$\mathrm{\angle }A{O}^{\prime }C={120}^{\circ }$

所以 $AC=l=\sqrt{3}r$

$R=\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{m{v}_0}{qB}$

$S=\pi R^2=\frac{3\pi m^2{v}_0^2}{4q^2{B}^2}$