难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题对数均值不等式极值点偏移齐次式比值换元零点差问题统一变量

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=lnx-ax$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性

（2）若 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ 是 $f(x)$ 的两个零点。

证明：（i）$x_1+x_2>\frac{2}{a}$;（ii）$x_2-x_1>\frac{2\sqrt{1-ea}}{a}$

TIP

• 零点差问题，一般题目中会有提示
• 带有根号的计算技巧：若式子一边的根号含有常数 1，式子另一边也含有常数 1，那么两边平方，常数 1 可以被约去。
• 分参数看 x 的准确范围 $ln{x}_1=a{x}_1,ln{x}_2=a{x}_2,x_1<x_2$，那么 $1<x_1<e$

第一问

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$

一、当 $a⩽0$

$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

二、当 $a>0$

$(0,\frac{1}{a}),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$(\frac{1}{a},+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

第二问

$\{\begin{array}{l}ln{x}_1=a{x}_1\\ ln{x}_2=a{x}_2\end{array}$

$ln\frac{x_2}{x_1}=a(x_2-x_1)$

$a=\frac{ln\frac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}$

1）证 $x_1+x_2>\frac{2}{a}$

即证 $x_1+x_2>\frac{2(x_2-x_1)}{ln\frac{x_2}{x_1}}$

$ln\frac{x_2}{x_1}>\frac{2(x_2-x_1)}{x_1+x_2}$

令 $t=\frac{x_2}{x_1},t>1$

令 $\phi (t)=lnt-\frac{2(t-1)}{t+1}$

求导，可得出 $\phi (t)>0$

2）证 $x_2-x_1>\frac{2\sqrt{1-ea}}{a}$

$\because x_1+x_2>\frac{2}{a}$

$\therefore 2x_1>\frac{2}{a}-\frac{2\sqrt{1-ea}}{a}$

$x_1>\frac{1-\sqrt{1-ea}}{a}$

$a{x}_1-1>-\sqrt{1-ea}$

$ln{x}_1-1>-\sqrt{1-ea}$

$(ln{x}_1{)}^2-2ln{x}_1>-e\frac{ln{x}_1}{x_1}$

$ln{x}_1-2>-\frac{e}{x_1}$

$lnx+\frac{e}{x}-2>0$

令 $h(x)=lnx+\frac{e}{x}-2,(1<x<e)$

$h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}$

$=\frac{x-e}{x^2}<0$

$h(x)\downarrow ,h(e)=0$

$\therefore h(x)>h(e)=0$

得证。