难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题定主元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=x+alnx+\frac{2a^2}{x}$，其中 $a>0$

（1）若 $f(x)⩾a$ 恒成立，求 a 的取值范围；

（2）令 $g(x)=f(x)-\frac{4a^2}{x}$，已知 $0<p<q<r$ 且 $2q>p+r$，试证明 $g(p)+g(r)<2g(q).$

解（1）

$x+alnx+\frac{2a^2}{x}⩾a$

$x+alnx+\frac{2a^2}{x}-a⩾0$

令 $h(x)=x+alnx+\frac{2a^2}{x}-a$

$h^{\prime }(x)=1+\frac{a}{x}-\frac{2a^2}{x^2}$

$=\frac{(x+2a)(x-a)}{x^2}$

所以 $x\in (0,a),h(x)\downarrow$

$x\in (a,+\mathrm{\infty }),h(x)\uparrow$

$h(a)⩾0$

$alna+2a⩾0$

$lna⩾-2=ln{e}^{-2}$

$a⩾\frac{1}{e^2}$

解（2）

$g(x)=x+alnx-\frac{2a^2}{x},(x>0,a>0)$

证明 $g(p)+g(r)<2g(q)$

因为 $2q>p+r$

$q>\frac{p+r}{x}$

因为 $g(x)\uparrow$

所以 $g(q)>g(\frac{p+r}{2})$

即证 $2g(q)>2g(\frac{p+r}{2})>g(p)+g(r)$

$2[\frac{p+r}{2}+aln(\frac{p+r}{2})-\frac{4a^2}{p+r}]>p+alnp-\frac{2a^2}{p}+r+alnr-\frac{2a^2}{r}$

$p+r+2aln(\frac{p+r}{2})-\frac{8a^2}{p+r}>p+r+alnp-\frac{2a^2}{p}+alnr-\frac{2a^2}{r}$

$2ln(\frac{p+r}{2})-\frac{8a}{p+r}>lnp-\frac{2a}{p}+lnr-\frac{2a}{r}$

$2ln(\frac{p+r}{2})-\frac{8}{p+r}a>ln(pr)-2(\frac{1}{p}+\frac{1}{r})a$

$2(\frac{1}{p}+\frac{1}{r})a-\frac{8}{p+r}a+2ln(\frac{p+r}{2})-ln(pr)>0$

令 $\phi (a)=2(\frac{1}{p}+\frac{1}{r})a-\frac{8}{p+r}a+2ln(\frac{p+r}{2})-ln(pr)$

${\phi }^{\prime }(a)=2(\frac{1}{p}+\frac{1}{r})-\frac{8}{p+r}$

$=2\frac{(p-r{)}^2}{pr(p+r)}>0$

所以 $\phi (a)\uparrow ,\phi (a)>\phi (0)=ln\frac{p^2+2pr+r^2}{4pr}>ln\frac{2pr+2pr}{4pr}=0$

只需证 $\phi (0)=ln\frac{p^2+2pr+r^2}{4pr}>0$

$p^2+2pr+r^2>4pr$

$(p-r{)}^2>0$

证毕。

TIP

遇到过个变量问题时，

一、第一种方法，统一变量，但有时变量换不完。

二、第二种方法，定主元的思想，把其中一个变量当成自变量，另外的变量当成参数。

并且一般来说，这种题目往往可以根据条件（比如这题利用函数单调性、放缩）先换掉一个字母（将 4、5 个变量缩减为 3、4 个变量。）

TIP

多个变量，且这多个变量没有任何关系，一定是用定主元的方法。

对于对谁定主元，就求导简单，就定谁为主元。