难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题曲线拟和曲线零点差问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{x+1}{e^x}$.

（1）当 $x>-1$ 时，求函数 $g(x)=f(x)+x^2-1$ 的最小值；

（2）已知 $x_1\ne x_2$，$f(x_1)=f(x_2)=t$，求证：$|x_1-x_2|>2\sqrt{1-t}$

解

（1）

$f(x)=\frac{x+1}{e^x}$

$x>-1,g(x)=\frac{x+1}{e^x}+x^2-1$

$=(x+1)e^{-x}+x^2-1$

$g^{\prime }(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}+2x$

$=-x{e}^{-x}+2x$

类二次函数

$=x(2-e^{-x})$

所以 $-1<x<-ln2$ 时，$g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$-ln2<x<0$ 时，$g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x>0$ 时，$g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$g(-1)=0$

$g(0)=1-1=0$

所以 $g(x{)}_{min}=0$

（2）

$f(x)=(x+1)e^{-x}$

$f^{\prime }(x)=-x{e}^{-x}$

$e^{-x}>0$

所以 $x<0$ 时，$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>0$ 时，$f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x\to -\mathrm{\infty },f(x)\to -\mathrm{\infty }$

$x\to +\mathrm{\infty },f(x)\to 0$

$f(0)=1,f(-1)=0$

所以 $(x_1+1)e^{-x_1}=t$

$(x_2+1)e^{-x_2}=t$

由（1）得，$g(x)=(x+1)e^{-x}+x^2-1⩾0$

所以 $(x+1)e^{-x}⩾1-x^2,x>-1$

所以 $x_1^2>1-t$

$x_2^2>1-t(x_1\ne x_2)$

设 $x_2>x_1$

则 $x_2>0>x_1>-1$

所以 $x_1<-\sqrt{1-t}$

$x_2>\sqrt{1-t}$

所以 $|x_1-x_2|=x_2-x_1>2\sqrt{1-t}$

证毕。

TIP

曲线拟和曲线，题目一般来说一定会给你一个不等式，利用这个不等式进行放缩。这个不等式就含有一个曲线和另一个曲线的故事。

TIP

求得导函数后，要判断导函数是否能进行因式分解，分成几个多因式。如果能配凑多因式，那么就能画出导函数的大致图像，得出导函数在某区间的正负性，从而得出原函数的单调性、极大值、极小值在哪里。（如果能配成多因式，但没配，那么就可能需要对导函数进行二次求导，以得出导函数的单调性、与零的关系，自己给自己加大了题目的复杂性和难度。）

TIP

对于分式求导，如果分式能变为整式（指数变为负数），那么就将分式变为整式，这样计算更简单，否则会多一步化简工作。

比如 $f(x)=\frac{-x}{e^x}$，

1. 直接对分式求导

$f^{\prime }(x)=-\frac{e^x-x{e}^x}{e^{2x}}=-\frac{1-x}{e^x}=\frac{x-1}{e^x}$

2. 化为整式后再求导

$f(x)=-x{e}^{-x}$

$f^{\prime }(x)=-(e^{-x}-x{e}^{-x})=e^{-x}(x-1)$

开区间求最值，最值必在极值点处取

假设有问题 $f(x)=e^x+3x，x>-1$，求 $f(x)$ 的最小值？

题目不会这么问，因为开区间问题，最值必在极值点处取得。