难度： 困难

标签： 三角函数问题最值问题柯西不等式二倍角公式弦化切

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

函数 $\frac{3+sinx}{2+sinx-cosx}$ 的值域为___

解法一，二倍角公式，弦化切

观察这个式子，3 和 2 可以看做是 $si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1$ 的倍数，为 2 次。但 sinx 和 cosx 为一次。所以想到利用二倍角公式将 sinx、cosx 升为 2 次，但是变成了半角。所以 3 和 2 转化的时候也为半角。再将正弦、余弦化切，两元就变成一元了。

$m=\frac{3+sinx}{2+sinx-cosx}$

$=\frac{3(si{n}^2\frac{x}{2}+co{s}^2\frac{x}{x})+2sin\frac{x}{x}cos\frac{x}{x}}{2(si{n}^2\frac{x}{2}+co{s}^2\frac{x}{2})+2si{n}^2\frac{x}{2}co{s}^2\frac{x}{2}-co{s}^2\frac{x}{2}+si{n}^2\frac{x}{2}}$

$=\frac{3(ta{n}^2\frac{x}{2}+1)+2tan\frac{x}{2}}{2(ta{n}^2\frac{x}{2}+1)+2tan\frac{x}{2}-1+ta{n}^2\frac{x}{2}}$

令 $tan\frac{x}{2}=t$

$m=\frac{3(t^2+1)+2t}{2(t^2+1)+2t-1+t^2}$

$=\frac{3t^2+2t+3}{3t^2+2t+1}$

$3m{t}^2+2m+m=3t^2+2t+3$

$3(m-1)t^2+2(m-1)t^2+m-3=0$

$\mathrm{\Delta }=[2(m-1){]}^2-4[3(m-1)(m-3)]⩾0$

$4(m^2-2m+1)-12(m^2-4m+3)⩾0$

$m^2-2m+1-3(m^2-4m+3)⩾0$

$-2m^2+10m-8⩾0$

$m^2-5m+4⩽0$

$(m-1)(m-4)⩽0$

$1⩽m⩽4$

解法二，柯西不等式

虽然使用柯西不等式后得出的是一个有 m 未知数的不等式，但这正是我们想要的。这样就可以求出 m 的范围了。

$y=\frac{3+sinx}{2+sinx-cosx}$

$2y+ysinx-ycosx=3+sinx$

$2y-3=(1-y)sinx+ycosx$

$|2y-3|⩽\sqrt{(1-y{)}^2+y^2}$

$4y^2-12y+9⩽2y^2-2y+1$

解得 $1⩽y⩽4$