14 三角函数对称性

说说

假设有一个三角函数 $y=Asin(\omega x+\phi )$，

并且我们知道了它的某个零点或对称轴，

那么我们可以令 $\omega x+\phi =\alpha$，

先将 $y=Asin\alpha$ 的零点通解或对称轴通解求出来，

然后根据 $\omega x+\phi =\alpha$ 反解出 x 的通解。

基本上绝大多数这类题都是这么做的。

例题

例题 1

已知 $y=3cos(2x+\phi )$ 关于 $(\frac{4}{3}\pi ,0)$ 对称，求 $|\phi {|}_{min}$。

解：

令 $2x+\phi =\alpha$

$\therefore y=3cos\alpha$

求关于点对称的通解：$2x+\phi =\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\therefore x=\frac{\frac{\pi }{2}-\phi +k\pi }{2},k\in Z$

因为 $y=3cos(2x+\phi )$ 关于 $(\frac{4}{3}\pi ,0)$ 对称，

所以 $\frac{8}{3}\pi =\frac{\pi }{2}-\phi +k\pi$

$|\phi |=|-\frac{13}{6}\pi +k\pi |,k\in Z$

当 $k=2$ 时，$|\phi |=|-\frac{\pi }{6}|=\frac{\pi }{6}$

例题 2

若函数 $f(x)=Asin(\omega x+\phi )(\mathrm{其}\mathrm{中}A>0,|\phi <\frac{\pi }{2}|)$ 图像的一个对称中心为 $(\frac{\pi }{3},0)$，其相邻一条对称轴方程为 $x=\frac{7\pi }{12}$，该对称轴处所对应的函数值为 $-1$，为了得到 $g(x)=cos2x$ 的图像，则只要将 $f(x)$ 的图像（）

$A.\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{移}\frac{\pi }{6}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{长}\mathrm{度}$

$B.\mathrm{向}\mathrm{左}\mathrm{平}\mathrm{移}\frac{\pi }{12}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{长}\mathrm{度}$

$C.\mathrm{向}\mathrm{左}\mathrm{平}\mathrm{移}\frac{\pi }{6}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{长}\mathrm{度}$

$D.\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{移}\frac{\pi }{12}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{长}\mathrm{度}$

解：

由题意可得，$T=(\frac{7}{12}\pi -\frac{4}{12}\pi )\times 4=\pi =\frac{2\pi }{\omega }$

所以 $\omega =2.$

令 $2x+\phi =\alpha$

当 $\alpha =\pi +2k\pi ,k\in Z$ 时，函数 $y=0$。

即 $2x+\phi =\pi +2k\pi ,k\in Z$

由题目给出的对称中心条件得，

$\frac{2\pi }{3+\phi =\pi +2k\pi ,k\in Z}$

$\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in Z$

因为 $|\phi <\frac{\pi }{2}|$，

所以 $\phi =\frac{\pi }{3}$

所以 $f(x)=sin(2x+\frac{\pi }{3})$

$=cos(\frac{\pi }{2}-(2x+\frac{\pi }{3}))$

$=cos(\frac{\pi }{6}-2x)$

$=cos(2x-\frac{\pi }{6})$

为了将 $f(x)$ 变为 $cos2x$，

我们可以将 $f(x)$ 向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位，即

$cos(2(x+\frac{\pi }{12})-\frac{\pi }{6})=cos2x$

所以答案选 $B.$

例题 3

已知函数 $f(x)=Asin(\omega x+\phi )(A>0,\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2})$ 的最大值为 2，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi }{2}$ 且 $f(x)$ 的图像关于点 $(-\frac{\pi }{6},0)$ 对称，则下列判断不正确的是（）。

$A.\mathrm{要}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}，\mathrm{只}\mathrm{需}\mathrm{将}y=2cos2x\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{移}\frac{\pi }{12}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}$

$B.\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{直}\mathrm{线}x=\frac{7\pi }{12}\mathrm{对}\mathrm{称}$

$C.x\in [-\frac{\pi }{12,\frac{\pi }{6}}]\mathrm{时}，\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{为}\sqrt{3}$

$D.\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{12}]$ 上单调递减

解：

$C.$