02 空间向量法 (重要)

说说

什么是法向量

垂直于一个面的非零向量称为法向量。

如何利用法向量

	证明平行	证明垂直	求夹角
线与线之间	$\mathrm{\exists }\lambda \in R,\mathrm{使}\mathrm{得}\overrightarrow{m}=\lambda \overrightarrow{n}$	$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}=0$	$cos\theta =|\frac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\cdot |\overrightarrow{n}|}|$ （因为线与线之间的夹角 $\in [0,\frac{\pi }{2}]$，所以要加绝对值符号）
线与面之间	$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{a}=0$ (法向量与直线向量相乘为 0)	$\overrightarrow{m}\parallel \overrightarrow{a}$	$cos\alpha =|\frac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{m}|\cdot |\overrightarrow{a}|}|$，$\alpha$ 为法向量与线之间的夹角，我们要求的线与面之间的夹角 $\theta$ 为 $\frac{\pi }{2}-\alpha$
面与面之间	$\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$（两个法向量平行）	$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$	两个法向量之间的夹角 $cos\alpha =|\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}|$。当二面角 $\theta$ 为锐角时，$\theta =\alpha$。当二面角为钝角时，$\theta =\pi -\alpha$

如何求法向量

在一个平面中任意找两条相交的向量 $\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$，设法向量为 $\overrightarrow{a}$，

则可以得到两个方程 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{m}\\ \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{n}\end{array}$。

例题

解：

以 DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DS 为 z 轴建系。

(1)

$D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),S(0,0,a),E(4,2,0),F(0,2,\frac{a}{2})$

$\overrightarrow{(}EF)=(-4,0,\frac{a}{2})$

$\because \overrightarrow{DC}\perp \mathrm{面}ASD$

$\therefore \overrightarrow{DC}=(0,4,0)$

$\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{EF}=0+0+0=0$

(2)

设面 DEF 法向量 $\overrightarrow{m}(x,y,z)$

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{DF}=0\\ \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{DE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2y+4z=0\\ 4x+2y=0\end{array}$

令 $z=2$，则 $y=-4,x=2$，则 $\overrightarrow{m}(1,-2,1)$

同理，令平面 SEF 的法向量为 $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，

$\{\begin{array}{l}4x+2y-8z=0\\ 0+2y-4z=0\end{array}$

令 $z=1,\overrightarrow{n}=(1,2,1)$

所以两个法向量的夹角的 $cos\alpha =|\frac{1-4+1}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}|=\frac{1}{3}$

那么二面角的正弦 $sin\theta =sin\alpha =\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$