01 三角函数的和与差公式

公式和如何记忆

对于角 $A\mathrm{和}B$，有以下和与差公式：

正弦

$sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB$

$sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB$

记忆技巧

$A$ 与 $B$ 的顺序不变，只是 $sin\mathrm{和}cos$ 的符号变。

假设 $A$ 和 $B$ 都在第一象限，那么当两个角相加时，角越大，正弦越大，所以是加号；两个角相减，角越小，正弦越小，所以是减号。

余弦

$cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB$

$cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB$

记忆技巧

$A$ 与 $B$ 的顺序不变，只是 $sin\mathrm{和}cos$ 的符号变。

假设 $A$ 和 $B$ 都在第一象限，那么当两个角相加时，角越大，余弦越小，所以是减号；两个角相减，角越小，余弦越大，所以是加号。

正切

$tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA\cdot tanB}$

$tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanA\cdot tanB}$

记忆技巧

假设 $A$ 和 $B$ 都在第一象限，那么当两个角相加时，角越大，正切越大，所以分子是加号，分母是减号；两个角相减，角越小，正切越小，所以分子是减号，分母是加号。

例题

例题 1

求 $sin(\frac{7\pi }{12})$ 的值。

解：

$\mathrm{原}\mathrm{式}=sin(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3})=sin\frac{\pi }{4}cos\frac{\pi }{3}+cos\frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{3}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

例题 2

已知 $\alpha$ 是第四象限角，$sin\alpha =-\frac{3}{5},tan\alpha =-\frac{3}{4}$

求 $sin(\frac{\pi }{4}-\alpha )$ 和 $tan(\alpha -\frac{\pi }{4})$。

解：

$sin(\frac{\pi }{4}-\alpha )$

$=sin\frac{\pi }{4}cos\alpha -cos\frac{\pi }{4}sin\alpha$

$=1\sqrt{2}\cdot \frac{4}{5}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot -\frac{3}{5}$

$=\frac{4+3}{5\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$

$tan(\alpha -\frac{\pi }{4})$

$\frac{-\frac{3}{4}-1}{1+-\frac{3}{4}\cdot 1}=\frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}}=-7$

例题 3

已知 $sin(\alpha -\beta )=\frac{\sqrt{1}0}{10},sin2\beta =\frac{\sqrt{5}}{5},\alpha \in [\pi ,\frac{3\pi }{2}],\beta \in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$，则 $\alpha +\beta =$

$A.\frac{5\pi }{4}$

$B.\frac{7\pi }{4}$

$C.\frac{5\pi }{4}\mathrm{或}\frac{7\pi }{4}$

$D.\frac{5\pi }{4}\mathrm{或}\frac{3\pi }{2}$

解：

答案选 $B.$

为什么使用换元法，使用换元法后，$\alpha -\beta$ 和 $2\beta$ 都被看成是一个角了，并且我们要求的结果也被看成由这两个角组成的合角，利用三角函数的和与差公式，求出具体的值。如果是某个特殊的值，也就知道是哪个角了。