03 向量的数乘运算

说说

向量与数字的相乘运算。

1

假设有一个向量 $\overrightarrow{a}$，有一个实数 $\lambda$，那么

$\lambda \overrightarrow{a}\{\begin{array}{l}\mathrm{长}\mathrm{度}|\lambda |\cdot |\overrightarrow{a}|=|\lambda \overrightarrow{a}|\\ \mathrm{方}\mathrm{向}\{\begin{array}{l}\lambda >0\mathrm{时}，\mathrm{同}\mathrm{向}\\ \lambda =0\mathrm{时}，\lambda \overrightarrow{a}=0\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\\ \lambda <0\mathrm{时}，\mathrm{反}\mathrm{向}\end{array}\end{array}$

2

对于 $\lambda ,u\in R$，有

$\{\begin{array}{l}\lambda (u\overrightarrow{a})=(\lambda u)\cdot \overrightarrow{a}\\ (\lambda +u)\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{a}+u\overrightarrow{a}\\ \lambda (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}\end{array}$

3

$(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})$。

只有上面这个公式有点不一样。

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot c=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$

4

$\mathrm{\exists }\lambda \in R，\mathrm{使}\overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}⟺\overrightarrow{b}\parallel \overrightarrow{a}$

若 $\overrightarrow{b}\parallel \overrightarrow{a}，\mathrm{则}\mathrm{\exists }\lambda \in R,\mathrm{使}\overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}$

例题 1

$M,N$ 为三等分点，证明 $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

解：

利用初中的相似三角形知识解：

因为 $MN\parallel BC$，

所以 $\mathrm{\exists }\lambda \in R$，使 $\overrightarrow{MN}=\lambda \overrightarrow{BC}$

又 $|\overrightarrow{MN}|=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

所以 $\lambda =\frac{1}{3}$

用高中的向量求解：

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$

$=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$