05 直线、圆的位置关系

直线与圆的位置关系

方法一，判断圆心到直线的距离 $d$ 与圆半径 $r$ 的关系。

$\{\begin{array}{l}\mathrm{当}d>r,\mathrm{圆}\mathrm{与}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{相}\mathrm{离}\\ \mathrm{当}d=r,\mathrm{圆}\mathrm{与}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{相}\mathrm{切}\\ \mathrm{当}d<r,\mathrm{圆}\mathrm{与}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{相}\mathrm{交}\end{array}$

方法二，联立直线与圆的方程，根据 $\mathrm{\Delta }$ 判断位置关系。

例题 1

已知直线 $l:3x+y-6=0$ 和圆心为 $C$ 的圆 $x^2+y^2-2y-4=0$，判断直线 $l$ 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。

解：

步骤一：

$C:x^2+(y-1{)}^2=5=r^2,r=\sqrt{5}$

$d=\frac{|3\times 0+1-6|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{1}0}<\sqrt{5}=r$

所以圆与直线相交。

步骤二，联立方程：

$\{\begin{array}{l}2x+y-6=0\\ x^2+y^2-2y-4=0\end{array}$

$x^2+(3x-6{)}^2+2(3x-6)-4=0$

$(x-1)(x-2)=0$

圆与圆的位置关系

假设有两个圆，它们的圆心之间的距离为 $d,r_1>r_2$。

当 $\{\begin{array}{l}d>r_1+r_2,\mathrm{圆}\mathrm{与}\mathrm{圆}\mathrm{相}\mathrm{离}\\ d=r_1+r_2,\mathrm{圆}\mathrm{与}\mathrm{圆}\mathrm{外}\mathrm{切}\\ r_1<d<r_1+r_2,\mathrm{圆}\mathrm{与}\mathrm{圆}\mathrm{相}\mathrm{交}\\ d=r_1-r_2,\mathrm{圆}\mathrm{与}\mathrm{圆}\mathrm{内}\mathrm{切}\\ d<r_1-r_2,\mathrm{内}\mathrm{含}\end{array}$

例题 2

已知圆 $C_1:x^2+y^2+2x+8y-8=0$，圆 $C_2:x^2+y^2+4x-4y-2=0$，试判断圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的关系？

解：

$C_1:(x+1{)}^2+(y+4{)}^2=5^2$

$C_2:(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=(\sqrt{1}0{)}^2$

$d=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}$

因为 $5-\sqrt{10}<\sqrt{37}<5+\sqrt{10}$

所以，是相交的关系。