难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题韦达定理零点方程

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=e^x[x^2-(a+2)x+a+3]$

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性

(2) 若 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，求证 $f(x_1)f(x_2)<4e^2$

第一问

$f^{\prime }(x)=e^x[x^2-(a+2)x+a+3]+e^x[2x-a-2]$

$=e^x[x^2-ax+1]$

当 $\mathrm{\Delta }=a^2-4⩽0$ 时，

即 $-2<a<2$ 时，

$x^2-ax+1⩾0$

所以 $f^{\prime }(x)⩾0,f(x)$ 单调递增

当 $\mathrm{\Delta }=a^2-4>0$ 时，

$x\in (-\mathrm{\infty },\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x\in (\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x\in (\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2},+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

第二问

因为 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 有两个极值点， $x_1,x_2$

所以 $f^{\prime }(x)=0$ 在 $(0,2)$ 有两个解

$f^{\prime }(x)=e^x[x^2-ax+1]=0$ 在 $(0,2)$ 有两个解

所以 $\{\begin{array}{l}{a}^2-4>0\\ a>0\\ 5-2a>0\end{array}$

取交集，解得 $2<a<\frac{5}{2}$

有时候我们需要零点方程来将高次项、超越项代还为好计算的项，所以零点方程是一个很有用的工具！

所以 $x_1^2-a{x}_1+1=0$

所以 $x_2^2-a{x}_2+1=0$

$x_1+x_2=a,x_1{x}_2=1$

如果直接计算，会比较复杂，这时想到使用零点方程，将高次替换为低次！

$f(x_1)f(x_2)=e^{x_1+x_2}[a{x}_1-1-(a+2)x_1+a+3]\cdot [a{x}_2-1-(a+2)x_2+a+3]$

$=e^{x_1+x_2}[-1-2x_1+a+3]\cdot [-1-2x_2+a+3]$

$=e^a(2-2x_1+a)(2-2x_2+a)$

$=e^a(2+a-2x_1)(2+a-2x_2)$

$=e^a[(2+a{)}^2-2(2+a)x_2-2(2+a)x_1+4x_1{x}_2]$

$=e^a[4+4a+a^2-2(2+a)a+4]$

$=e^a(8-a^2)$

即证 $e^a(8-a^2)<4e^2$

$8-a^2<4e^{2-a}$

令 $g(a)=4e^{2-a}+a^2-8$

$g^{\prime }(a)=-4e^{2-a}+2a$，单调递增

$g^{\prime }(2)=0$

所以 $g^{\prime }(a)>0$

所以 $g(a)\uparrow ,g(2)=0$

所以 $g(a)>0$

得证。