难度： 简单

标签： 乘法公式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $x^2-3x+1=0$，求 $x^3+\frac{1}{x^3}$ 的值。

TIP

• 三次方的乘法公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• 两个互为倒数的和的平方，等于这两个数各自的平方的和再加一个常数，利用这点可以消去未知数

解

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-1+\frac{1}{x^2})$

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})((x+\frac{1}{x}{)}^2-3)$

因为 $x^2-3x+1=0$，

所以 $x+\frac{1}{x}=3$，

所以

$x^3+\frac{1}{x^3}=3\times (3^2-3)=18$

二刷，也可以使用一的代换。

TIP

$x^n\pm \frac{1}{x^n}$ 类似这种函数，有个特点，乘以 $(x+\frac{1}{x})$ 可以进行升次，让奇数放变为偶数方。且会产生常数项。

因为 $x^n\times \frac{1}{x^n}=1$