01_函数概念与性质

对一个数集 $A(1,2,3,4,5)$，经过一个对应关系后，分别对应数集 $B(1,4,9,16,25)$，那么就称 $f:A⟶B$，记作 $y=f(x),x\in A$。

其中定义域为 $A$，值域为 $B$。

$\mathrm{函}\mathrm{数}=\{\begin{array}{l}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\\ \mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{关}\mathrm{系}\\ \mathrm{值}\mathrm{域}\end{array}$

函数的三大要素

常见的定义域问题。

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{a},a\ne 0\\ \sqrt{a},a\ge 0\\ lo{g}_{a}b,a,b>0\mathrm{且}a\ne 1\\ x^0,x\ne 0(\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}{0}^0)\end{array}$

例题 1

求 $\frac{1}{\sqrt{x^2-2}-1}$ 的自定义域？

Details

解：

$\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2-1}-1\ne 0\\ x^2-2\ge 0\end{array}$

最终画图：

所以定义域为 $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{3})\bigcup (-\sqrt{3},-\sqrt{2}]\bigcup [\sqrt{2},\sqrt{3})\bigcup (\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$

例题 2

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,2)$，则函数 $g(x)=f(x+c)+f(x-c)$ 在 $0<c<1$ 时的定义域为_______。

Details

解：

$\{\begin{array}{l}0<x+c<2\\ 0<x-c<2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-c<x<2-c\\ c<x<2+c\end{array}$ 根据大于最大的，小于最小的原则，所以最终答案为

$c<x<2-c$。

值域常见求法

遇到一次分式求值域

将分母整体换元。

例：

求 $y=\frac{5x-1}{4x+2},x\in [-3,-1]$ 的值域。

Details

解：

将分母整体换元，

令 $t=4x+2,\{\begin{array}{l}x=\frac{t-2}{4}\\ t\in [-10,-2]\end{array}$

原式变为 $y=\frac{\frac{5t-14}{4}}{t}=\frac{5}{4}-\frac{7}{2t}$。

所以 $y\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}[\frac{8}{5},3]$

遇到二次分式求值域

将分母乘以 y，直接变为关于 x 的一元二次方程，求解 $\mathrm{\Delta }>0$ 即可求出答案。 例：

求 $y=\frac{2x^2+4x-7}{x^2+2x+3}$ 的值域。

Details

两边同乘分母，得

$y{x}^2+2yx+3y=2x^2+4x-7$

$(y-2)x^2+(2y-4)x+3y+7=0$

然后需要分情况，是否是二次函数。

第一种情况，是二次函数，前提条件为 $y-2\ne 0\mathrm{即}y\ne 2$

$\mathrm{\Delta }=(2y-4{)}^2-4(y-2)(3y+7)\ge 0$

$0\ge 4(2y^2+5y-18)$

$0\ge 4(y-2)(2y+9)$

$-\frac{9}{2}\le y\le 2$

又结合前提条件，得 $-\frac{9}{2}\le y<2$

第二种情况，不是二次函数，前提条件为 $y-2=0$

$0\times x^2+0\times x+13=0$ 无解。

遇到根号通次问题

采用整体换元的方法，将根号消除。

例：

求 $y=2x+\sqrt{1-2x}$ 的值域。

Details

解：

$t=\sqrt{1-2x}\ge 0$

$t^2=1-2x⟹x=\frac{1-t^2}{2}$

$y=1-t^2+t=-(t-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{5}{4}\in (-\mathrm{\infty },\frac{5}{4}]$

函数的单调性与最值

减函数、增函数定义

对于 $f(x)$ 定义域 $I$ 内某个区间 $D$ 上任意两个自变量 $x_1,x_2$，

当 $x_1<x_2$ 时， $\{\begin{array}{l}\mathrm{若}f(x_1)<f(x_2)，\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}D\mathrm{是}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}\\ \mathrm{若}f(x_1)>f(x_2)，\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}D\mathrm{是}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}$

最值定义

最大值：$f(x)$ 定义域 $I$，若存在实数 $M$，使得

$\{\begin{array}{l}x\in I,f(x)\le M\\ \mathrm{且}\mathrm{存}\mathrm{在}{x}_0\in I，\mathrm{使}f(x)=M\end{array}$

用定义法求解单调性例题

用定义法求 $f(x)=\frac{2x^2}{x-1}$ 在 $(0,1)$ 的单调性？

解：

任设 $0<x_1<x_2<1$，

则有 $f(x_1)-f(x_2)=\frac{2x_1^2}{x_1-1}-\frac{2x_2^2}{x_2-1}$

$\frac{2x_1^2(x_2-1)-2x_2^2(x_1-1)}{(x_1-1)(x_2-1)}$

$2x_1{x}_2(x_1-x_2)-2(x_1-x_2)(x_1+x_2)$

$2(x_1-x_2)(x_1{x}_2-x_1-x_2)$

$x_1(x_2-1)-x_2$

函数的奇偶性

偶函数定义：对定义域 $I$ 内一个 $x$，都有 $f(x)=f(-x)$，称 $f(x)$ 为偶函数。

例如 $f(x)=\frac{4}{2x^2+3},f(-x)=\frac{4}{2x^2+3}$，所以 $f(x)$ 是偶函数。

奇函数定义：对定义域 $I$ 内一个 $x$，都有 $f(x)=-f(-x)$，称 $f(x)$ 为奇函数。

推论

若定义域包含 $0$，那么 $f(0)=0$

$f(x)=-f(-x)$

$f(0)=-f(-0)=-f(0)$

$2f(0)=0$

$f(0)=0$

常见的奇函数有 $y=\frac{1}{x}$

双勾函数 $y=x+\frac{1}{x}$

对钩和双钩函数的性质

对钩/双钩函数：$y=x+\frac{k}{x}(k>0)$

变形：$y=ax+\frac{b}{x},(a,b>0)$

$y=a(x+\frac{\frac{b}{a}}{x})$

例题 1

求函数 $f(x)=x+\frac{x}{x-1}$ 的单调区间及对称中心

平移口诀

左平移，x 加。右平移，x 减。简称左加右减。

Details

解：

可以用换元法，也可以直接用对钩函数。

$f(x)=x+\frac{x-1+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}+1=x-1+\frac{1}{x-1}+2$

令 $g(x)=x+\frac{1}{x}$，那么 $g(x)$ 经过向上平移 2 个单位，向右平移 1 个单位，得到 $g(x{)}_2=x-1+\frac{1}{x-1}+2$

因为 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },-1)\mathrm{递}\mathrm{增}，(-1,0)\mathrm{递}\mathrm{减}，(0,1)\mathrm{递}\mathrm{减}，(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{递}\mathrm{增}$，

所以 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },0)\mathrm{递}\mathrm{增}，(0,0)\mathrm{递}\mathrm{减}，(0,2)\mathrm{递}\mathrm{减}，(2,+\mathrm{\infty })\mathrm{递}\mathrm{增}，\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(1,2)$。

例题 2

求函数 $f(x)=x+\frac{1}{2x-4}$ 在 $(2,+\mathrm{\infty })$ 上的最低点坐标。

Details

解：

$f(x)=x+\frac{\frac{1}{2}}{x-2}$

令 $x-2=t>0$

$f(x)=t+\frac{\frac{1}{2}}{t}+2$

所以 $t=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时

$y=f(x{)}_{min}=\sqrt{2}+2$

$x=t+2=\frac{\sqrt{2}}{2}+2$

所以 $(\frac{\sqrt{2}}{2}+2,2+\sqrt{2})$

例题 3

求 $y=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$ 的最小值。

Details

解：

令 $\sqrt{x^2+4}=t(t\ge 2)$

所以 $x^2+4=t^2$

$y=\frac{t^2+1}{t}=t+\frac{1}{t}$

例题 4

已知函数 $f(x)$ 在 $R$ 上有定义，对任意实数 $a>0$ 和任意实数 $x$，都有 $f(ax)=af(x)$

（1）证明 $f(0)=0$

（2）证明 $f(x)=\{\begin{array}{l}kx,x\ge 0\\ hx,x<0\end{array}$，其中 k 和 h 均为常数。

（3）当（2）中的 $k>0$，设$g(x)=\frac{1}{f(x)}+f(x)(x>0)$，讨论 $g(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 内的单调性并求最值。

Details

解：

（3）

因为 $x>0$

所以 $f(x)=kx$

$g(x)=\frac{1}{kx}+kx=k(x+\frac{\frac{1}{k}}{kx})=k(x+\frac{\frac{1}{k^2}}{x})$

$x=\frac{1}{k}\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{得}g(x{)}_{min}=k(...)=2$

函数对称性与周期性

对称性

当两个括号内的数相加是一个常数，那么函数就关于 $x=\frac{\mathrm{常}\mathrm{数}}{2}$ 对称。

$\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{对}\mathrm{称}\{\begin{array}{l}f(a-x)=f(a+x),a\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{常}\mathrm{数}，\mathrm{由}\mathrm{此}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{可}\mathrm{知}f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=\frac{a+a}{2}\mathrm{对}\mathrm{称}\\ f(x)=f(2a-x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=\frac{2a}{2}\mathrm{对}\mathrm{称}\\ f(a-x)=f(b+x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=\frac{a+b}{2}\mathrm{对}\mathrm{称}\end{array}$

$\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}\mathrm{对}\mathrm{称}\{\begin{array}{l}f(a-x)=-f(a+x),a\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{常}\mathrm{数}，\mathrm{由}\mathrm{此}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{可}\mathrm{知}f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}(\frac{a+a}{2},0)\mathrm{对}\mathrm{称}\\ f(x)=-f(2a-x)\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}\mathrm{对}\mathrm{称}\\ f(a-x)=-f(b+x)\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}\mathrm{对}\mathrm{称}\end{array}$

周期性

假设有 $f(x)=f(x+T)$，$T$ 为正数，那么我们就称 $T$ 是 $f(x)$ 的最小正周期。

$\mathrm{变}\mathrm{形}\{\begin{array}{l}f(x)=-f(x+T)⟹f(x)=-[-f(x+2T)]=f(x+2T),\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{为}2T\\ f(x)=\frac{1}{f(x+T)}⟹f(x)=\frac{1}{\frac{1}{f(x+2T)}}=f(x+2T),\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{为}2T\\ f(x)=-\frac{1}{f(x+T)}⟹f(x)=-\frac{1}{\frac{1}{-f(x+2T)}}=f(x+2T),\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{为}2T\\ f(x-a)=f(x+b)⟺\mathrm{在}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{内}f(x)=f(x+a+b),\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{为}a+b\end{array}$

提示

若抽象函数具有周期性，且是一个奇函数，那么它一定关于某条垂直线 $x=a$ 对称。

比如例题：定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(x+2)+f(x)=0$，且函数 $f(x+1)$ 为奇函数，求证函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称。

解：

要证明 $f(x)$ 图像关于直线 $x=2$ 对称，只需证明 $f(2-x)=f(2+x)$。

$\because f(x+1)\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$\therefore f(x+2)=-f(-(x+1)+1)$

$\therefore f(x+2)=-f(-x)$

$\therefore f(x+2)=-[f(-x+2)]$

$=f(2-x)$

所以得证。

关于两个点对称

那么这个函数其实是一个周期函数。

关于一个直线和点对称

关于两条直线对称

例题

例题 1

已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$，若 $f(1)=2$，则 $f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)$ 等于（）。

解：

因为 $f(x)$ 是定义域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 的奇函数，所以 $f(0)=0$。

$\because f(1-x)=f(1+x)$

$\therefore f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=1\mathrm{对}\mathrm{称}$

$\mathrm{原}\mathrm{式}=(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))\times 12+f(1)+f(2)=(2+0-2+0)+2+0=2$

例题 2

设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对任意实数 $x$，恒有 $f(x+2)=-f(x)$，当 $x\in [0,2]$ 时，$f(x)=2x-x^2$.

(1) 求证：$f(x)$ 是周期函数；

(2) 当 $x\in [2,4]$ 时，求 $f(x)$ 的解析式；

(3) 计算 $f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2011)$.

例题 3

已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=f(1-x)$ 且在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 上是增函数，不等式 $f(ax+2)\le f(x-1)$ 对任意 $x\in [\frac{1}{2},1]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）。

$A.[-3,-1]$

$B.[-2,0]$

$C.[-5,-1]$

$D.[-2,1]$

函数解析式解法

函数分为三大块：定义域，解析式，值域。这里讲讲解析式相关问题。

换元法

例子：

$f(\frac{x+1}{x})=\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{1}{x}$，求 $f(x)$

令 $\frac{x+1}{x}=t(t\in (-\mathrm{\infty },2)\bigcup (2,+\mathrm{\infty }))$

$f(t)=t^2-t+1(t\in (-\mathrm{\infty },2)\bigcup (2,+\mathrm{\infty }))$

$f(x)=x^2-x+1(x\in (-\mathrm{\infty },2)\bigcup (2,+\mathrm{\infty }))$

待定系数法

已知二次函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0,f(x+1)=f(x)+2x+8$，求 $f(x)$ 的解析式。

设 $f(x)=a{x}^2+bx+c,(a\ne 0)$

。。。

方程组法

$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x(x\ne 0),\mathrm{求}f(x)$

特殊值法

设函数式定义在 $R$ 上的函数，且满足 $f(0)=1$，并且对任意的实数 $x,y$，有 $f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)$，求 $f(x)$ 函数解析式。

令 $y=x$

。。。

值域解析

函数求值域问题总结

函数单调性解法

$\mathrm{解}\mathrm{决}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{性}\mathrm{相}\mathrm{关}\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{方}\mathrm{法}\{\begin{array}{l}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{法}(\mathrm{适}\mathrm{用}\mathrm{于}\mathrm{能}\mathrm{画}\mathrm{出}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数})\\ \mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{法}(\mathrm{用}\mathrm{的}\mathrm{不}\mathrm{多}，\mathrm{后}\mathrm{面}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{使}\mathrm{用}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{来}\mathrm{求})\\ \mathrm{复}\mathrm{合}\mathrm{函}\mathrm{数}(f(g(x))),\mathrm{由}\mathrm{内}\mathrm{到}\mathrm{外}\mathrm{求}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{性}\\ \mathrm{导}\mathrm{数}\end{array}$

函数奇偶性例题

例题 1

已知函数 $f(x)=\frac{a{x}^2+b}{x}$ 是定义在 $(-\mathrm{\infty },b-3]\bigcup [b-1,+\mathrm{\infty })$ 上的奇函数。若 $f(2)=3$，则 $a+b$ 的值为（）。

例题 2

设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 是增函数，且 $f(2)=0$，则不等式 $f(x+1)>0$ 的解集为？

例题 3

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x>0$ 时，$f(x)=-2x^2+3x+1$，求：

（1）当 $x<0$ 时，$f(x)$ 的解析式

（2）$f(x)$ 在 $R$ 上的解析式