01_逻辑用语

充分条件与必要条件

定义

先看一个例子， $若 p ，则 q$ 。其中 $若 p$ 是条件， $则 q$ 是结论。

一，若 $p$ 能推出 $q$ ，即 $p ⟹ q$ ，则说明 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

二，若 $q$ 能推出 $p$ ，即 $p ⟸ q$ ，则说明 $p$ 是 $q$ 的必要条件。

所以说，如果条件能够推出结论，我们就说 $p$ 是 $q$ 的充分条件。如果结论能够推出条件，我们就说 $p$ 是 $q$ 的必要条件。

例题 1

若 $a \in R, 则 a = 2 是 (a - 1) * (a - 2) = 0 的$ （）。

$A . 充分而不必要条件$

$B . 必要而不充分条件$

$C . 充要条件$

$D . 即不充分也不必要条件$

解：

若 $a = 2$ ，能推出 $(a - 1) * (a - 2) = 0$ 。

若 $(a - 1) * (a - 2) = 0$ ，那么 $a = 1, 2$ ，而条件 $a = 2$ ，所以 $a=2 是 (a-1)*(a-2)=0 $ 的充分不必要条件。

例题 2

设集合 $A = {x | x - 2 > 0}, B = {x | x < 0}, C = {x | x (x - 2) > 0}$ ，则“ $x \in A ⋃ B$ ”是“ $x \in C$ ”的（）。

$A . 充分而不必要条件$

$B . 必要而不充分条件$

$C . 充要条件$

$D . 即不充分也不必要条件$

解：

$A = (2, + \infty)$

$B = (- \infty, 0)$

$C = (- \infty, 0) ⋃ (2, + \infty)$

$A ⋃ B = (- \infty, 0) ⋃ (2, + \infty)$

所以答案选 $C$ 。

全称量词与存在量词

定义

“对于所有 $x \in N$ ，都有 $x > - 1$ ”这句话，前半句是度量范围，后半句是结论，组合起来就是一个命题。

“对于所有”是一个量词，可以用符号 $\forall$ 表示。还有另外一个符号 $\exists$ 表示存在的意思。

例题 1

下列命题是假命题的是（）。

$A . \forall x \in R, x^{x} > 0$

$B . \forall x \in N, x \geq 1$

$C . \exists x \in Z, x < 1$

$D . \exists x \in Q, \sqrt{x} \in Q$

解：

$N$ 代表自然数 $0, 1, 2, 3. . .$ ，所以 $B$ 是假命题。

例题 2

下列命题：

偶数都可以被 2 整除；
角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；
有的实数是无限不循环小数；
有的菱形是正方形；
存在三角形其内角和大于 $180^{\circ}$ 。

既是全称命题又是真命题的是_______。（全称命题表示度量范围为对于所有的命题）

解：

$1, 2$

命题的否定

假设有命题“我不是人”，那么它的否定命题是什么呢？是“我是人”。

“20 是 5 的倍数”的否定命题为“20 不是 5 的倍数”。

对于一个命题，如果我们要将它改为否定命题，需要做两步：

全称量词改为存在量词，或者存在量词改为全称量词
结论改为否定

注意结论之前的条件不用改变。

例题 1

所有能被 3 整除的整数都是奇数。

解：

存在能被 3 整除的整数不是奇数。

例题 2

有的三角形是等边三角形。

解：

所有的三角形都不是等边三角形。

例题 3

$\exists x \in R, x^{2} - x + 1 = 0;$

解：

$\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \neq 0$

习题

例题 1

已知 $p : x^{2} - x - 2 > 0, q : x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$ ，则 $q$ 是 $\neg p$ 的（）。

$A . 充分不必要条件$

$B . 必要不充分条件$

$C . 充要条件$

$D . 既不充分也不必要条件$

Details

解：

$q = 1$ ，

$p = (- \infty, - 1) ⋃ (2, + \infty)$ ，

$\neg p = [- 1, 2]$ 。

所以答案选 $A$ 。

例题 2

已知条件 $p : a > b > 0, 条件 q : \frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）。

$A . 充分不必要条件$

$B . 必要不充分条件$

$C . 充要条件$

$D . 既不充分也不必要条件$

Details

解：

答案选 $A$ 。

例题 3

下列命题为真命题的是（）。

$A . \exists x_{0} \in R, 使 x_{0}^{2} < 0$

$B . \forall x \in R, 有 x^{2} \geq 0$

$C . \forall x \in R, 有 x^{2} > 0$

$D . \forall x \in R, 有 x^{2} < 0$

Details

解：

答案选 $B$ 。

例题 4

已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x \leq 8}, B = {- 2, 0}$ ，下列命题为假命题的是（）。

$A . \exists x_{0} \in A, x_{0} \in B$

$B . \exists x_{0} \in B, x_{0} \in A$

$C . \forall x \in A, x \in B$

$D . \forall x \in B, x \in A$

Details

解题：

根据十字相乘法，解得 $A = [- 2, 4]$ 。

答案选 $C$ 。

1.1 解不等式

1.1.1 基础不等式的解法

1.1.2 函数不等式的解法

1.2 基本不等式（均值不等式）

1.2.1 基础知识与简单应用

1.2.2 有等量关系的多元最值

1.2.3 缺少等量关系的多元最值

1.3 二次函数基础模型

1.3.1 二次恒成立

1.3.2 二次函数根的分布

1.4 数学必备常识与技巧

1.4.1 高考数学必备基础常识

1.4.2 选择填空通用应试技巧

1.5 复数

1.5.1 复数的概念与运算

2.1 函数的概念与表示

2.1.1 函数值域

2.2 函数的性质

2.2.1 单调性

2.2.2 奇偶性与对称性

2.2.3 周期性

2.2.4 性质综合应用

2.3 基本初等函数

2.3.1 指对幂函数

2.4 函数的应用

2.4.1 函数图像及变换

2.4.2 根与方程问题

3.1 导数的概念与意义

3.1.1 导数的基本概念

3.1.2 导数的几何意义

3.2 单调性问题

3.2.1 讨论单调区间

3.2.2 已知单调性求参数范围

3.3 极值最值问题

3.3.1 最值讨论与值域

3.3.2 双逻辑连接词下的函数问题

3.4 恒成立与存在性问题

3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围

3.4.2 已知参数范围证明恒成立

3.5 根与方程问题

3.5.1 根与零点问题

3.5.2 切线相关问题

3.5.3 双零点问题

3.5.4 极值点问题

4.1 三角函数的恒等变换

4.1.1 基础公式问题

4.1.2 字母型角度化简求值问题

4.1.3 综合问题

4.2 三角函数的图像

4.2.1 正弦型三角函数图像

4.2.2 三角函数的图像变换

4.2.3 三角函数图象的性质

4.3 解三角形

4.3.1 三角形中的基础公式问题

4.3.2 三角形中的代数求值问题

4.3.3 三角形中的几何问题

4.3.4 三角形中的范围与最值问题

5.1 向量基本问题

5.1.1 三大基本方法

6.1 等差与等比数列

6.1.1 等差数列

6.1.2 等比数列

6.2 求通项公式

6.2.1 通项公式与递推公式基础

6.2.2 项与项递推求通项

6.2.3 项与和递推求通项

7.1 空间几何体

7.1.1 基本问题

7.1.2 与球有关的问题

7.2 空间中的位置关系

7.2.1 位置关系选择填空

7.2.2 位置关系解答题

7.3 空间中的角度与距离

7.3.1 传统几何法解空间角度与距离

7.3.2 空间向量法解空间角度与距离

8.1 排列组合

8.1.1 计数原理

8.1.2 排列组合及常见计数模型

8.1.3 二项式定理

8.2 概率