难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$

解（2）

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_0,y_0)$

$k_1=\frac{x_0-y_1+1}{x_0-x_1}$

$k_2=\frac{x_0-y_2+1}{x_0-x_2}$

$k_1{k}_2=\frac{(y_1-x_0-1)(y_2-x_0-1)}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)}$

$l:x-4=m(y-2)$

$x=my+n,n=4-2m$

$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2-4=0\\ x=my+n,y=\frac{x-n}{m}\end{array}$

$(my+n{)}^2-y^2-4=0$

$(m^2-1)y^2+2mny+n^2-4=0$

$\mathrm{分}\mathrm{子}=m^2{x}_0^2-(x_0-4+2m{)}^2-4m^2$（省略分母……）

$=x_0^2{m}^2-[(x_0-4{)}^2+4(x_0-4)m+4m^2]-4m^2$

$=(x_0^2-8)m^2-4(x_0-4)m-(x_0-4{)}^2$

$\mathrm{分}\mathrm{母}=(m^2-1)(x_0+1{)}^2+(8m-4m^2)(x_0+1)+(16-16m+4m^2)-4$（省略分母……）

$=[(x_0+1{)}^2-4(x_0+1)+4]m^2+[8(x_0+1)-16]m-(x_0+1{)}^2+12$

所以

$\frac{-4(x_0-4)}{8(x_0+1)-16}=\frac{-(x_0-4{)}^2}{-(x_0+1{)}^2+12}$

$\frac{x_0-4}{2(x_0+1)-4}=\frac{(x_0-4{)}^2}{-(x_0+1{)}^2+12}$

$\frac{1}{2x_0-2}=\frac{x_0-4}{-x_0^2-2x_0+1}$

$2x_0^2-8x_0-2x_0+8=-x_0^2-2x_0+11$

$3x_0^2-8x_0-3=0$

$x_0=3\mathrm{或}-\frac{1}{3}（\mathrm{舍}\mathrm{去}）$

通过代入二次项，判断 $-\frac{1}{3}$ 舍去。（考场直接滤过）

TIP

最后要明确，最后变化的数是 $m,n$，不变的是 $x_0$。

所以要将 $x_0$ 视为常数。也就是说 $m,n$ 的系数中含有 $x_0$