难度： 困难

标签： 数列问题导数问题证明题洛必达分类讨论参数分离最值问题端点问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=e^x-1-asinx(a\in R)$

（1）当 $x\in [0,\pi ]$ 时，$f(x)\ge 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

（2）当 $a=1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 满足：$0<a_n<1，a_{n+1}=f(a_n)$，求证：$\{a_n\}$ 是递减数列（参考数据：$sin1\mathrm{约}\mathrm{等}\mathrm{于}0.84$）

第一问

解法一，使用参数分离方法，需要用到洛必达法则

$e^x-1⩾asinx$

当 $x=0,\pi$ 时，$e^x-1-asinx⩾0$ 恒成立。

当 $x\in (0,\pi )$ 时，

$a⩽(\frac{e^x-1}{sinx}{)}_{min}$

令 $g(x)=\frac{e^x-1}{sinx}$

$g^{\prime }(x)=\frac{e^{x}sinx-(e^x-1)cosx}{si{n}^{2}x}$

可以观察得到分子在定义域上是单调递增的，

直接观察分子的单调性是观察不出来的。所以需要二次求导，判断其单调性。

令 $h(x)=e^{x}sinx-(e^x-1)cosx$

$h^{\prime }(x)=e^{x}sinx+e^{x}cosx-[e^{x}cosx-(e^x-1)sinx]$

$=(2e^x-1)sinx$

所以在 $x\in (0,\pi )$ 时 $h^{\prime }(x)>0,h(x)$ 单调递增

$h(0)=0,h(x)>0$

所以 $g^{\prime }(x)>0$

$g(x)$ 单调递减

$g(x{)}_{min}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{sinx}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x}{cosx}=1$

解法二，使用分类讨论

$(e^x-1-asinx{)}_{min}⩾0,x\in [0,\pi ]$

当 $a⩽0$ 时，

$g(x)⩾0$ 恒成立

当 $a>0$ 时

$g^{\prime }(x)=e^x-acosx$

因为 $g^{\prime }(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 上单增

$g(\pi )=e^{\pi }+a>0$

$g(0)=1-a$

1. 当 $0<a⩽1$ 时，

$g^{\prime }(x)⩾0$

$g(x)$ 单调递增

$g(x{)}_{min}=g(0)=1-a⩾0$

所以 $a⩽1$，符合条件。

1. 当 $a>1$ 时，

存在 $x_0\in (0,\pi )$ 使得 $e^{x_0}-acos{x}_0=0$

所以在 $x\in (0,x_0)$ 时 $g^{\prime }(x)<0$

$x\in (x_0,\pi )$ 时 $g^{\prime }(x)>0$

$g(x{)}_{min}=g(x_0)$

注意！到了这里我们会发现 $g(x{)}_{min}$ 比较难用 a 表示出来以反解 a 的范围。这时候就不要一根筋的一定要把最小值用 a 表示出来，表示不出来呀！

有没有可能，这种情况就是不符合题意，需要舍去的呢？！虽然我们不能通过最值判断它符不符合条件，但是我们也可以通过端点来判断它符不符合条件呀！

因为 $g(0)=0$，所以 $g(x{)}_{min}<g(0)=0$

所以这种情况不符题意

综上，$a\in (-\mathrm{\infty },1]$

第二问

$f(x)=e^x-1-sinx$

$a_{n+1}=e^{a_n}-1-sin{a}_n$

求证 $\{a_n\}$ 是递减数列

即证 $a_{n+1}-a_n<0$

即证 $e^{a_n}-1-sin{a}_n-a_n<0,0<a_n<1$

令 $h(x)=e^x-1-sinx-x,0<x<1$

$h^{\prime }(x)=e^x-cosx-1$

观察到 $h^{\prime }(x)$ 在 $x\in (0,1)$ 上单调递增

$h^{\prime }(0)=-1$

$h^{\prime }(1)=e-cos1-1>0$

所以存在 $x_0$，使得在 $x\in (0,x_0)$ 时，$h^{\prime }(x)<0,h(x)$ 单调递减

$x\in (x_0,1)$ 时，$h^{\prime }(x)>0,h(x)$ 单调递增

因为 $\{\begin{array}{l}h(0)=0\\ h(1)=e-1-0.84-1<0\end{array}$

所以 $h(x)<0$

题目得证。