射影定理

在初中和高中阶段，我们接触和使用的射影定理有以下两种形式。

参考圆幂定理

射影定理 1

直角三角形射影定理，又叫欧几里德 (Euclid) 定理，其内容：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

什么是比例中项？

如果 a、b、c 三个量成连比例即 $a:b=b:c$，b 叫做 a 和 c 的比例中项。（内项要相等时才称为比例中项）

符号语言：如图，$Rt\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$，$AD$ 是斜边 $BC$ 上的高，则有射影定理如下：

$$A{D}^2=BD\cdot CD\mathrm{①}$$$$A{B}^2=BD\cdot BC\mathrm{②}$$$$A{C}^2=CD\cdot BC\mathrm{③}$$

通过圆幂定理推

① 通过圆幂定理的相交弦定理，很容易得出。

②、③ 通过圆幂定理的切割线定理，也很容易得出。

证明：

这主要是由相似三角形来推出的，

例如，证明 $A{D}^2=BD\cdot DC$

在 $\mathrm{△}BAD$ 与 $\mathrm{△}ACD$ 中，$\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }DAC$，$\mathrm{\angle }BDA=\mathrm{\angle }ADC={90}^{\circ }$，

故 $\mathrm{△}BAD\sim ACD$，所以 $\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，

所以得到，$A{D}^2=BD\cdot DC$。其余仿此证明；

并且，有上述射影定理还可以证明勾股定理。

比如由公式 $\mathrm{②}+\mathrm{③}$ 得到，

$A{B}^2+A{C}^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=B{C}^2$，

即 $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$，这就是勾股定理的结论。

射影定理 2

任意三角形射影定理，又称“第一余弦定理”，其内容为：三角形的任意一边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。

符号语言：设 $\mathrm{△}ABC$ 的三边是 $a,b,c$，它们所对的角分别是 $A,B,C$，则有：

$$a=b\cdot cosC+c\cdot cosB\mathrm{①}$$$$b=c\cdot cosA+a\cdot cosC\mathrm{②}$$$$c=a\cdot cosB+b\cdot cosA\mathrm{③}$$

[证法 1]：设点 $C$ 在直线 $AB$上的射影为点 $D$，

则 $AC,BC$ 在直线 $AB$ 上的射影分别为 $AD,BD$，

且 $AD=b\cdot cosA,BD=a\cdot cosB$，

故 $c=AD+BD=b\cdot cosa+a\cdot cosB$，同理可证其余。

[证法 2]：由正弦定理，可得：$b=\frac{asinB}{sinA},c=\frac{asinC}{sinA}$，

即 $c=\frac{asin(A+B)}{sinA}=\frac{a(sinAcosB+cosAsinB)}{sinA}$

$=acosB+(\frac{asinB}{sinA})cosA=a\cdot cosB+b\cdot cosA$。

同理可证其余。

[证法 3]：以向量三角形为案例

设 $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，两边同乘向量 $\overrightarrow{CB}$，

得到 $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{CB}$

即 ${\overrightarrow{CB}}^2=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}$

${\overrightarrow{CB}}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot cos<\overrightarrow{AB}\overrightarrow{CB}>-|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot cos<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}>$

${\overrightarrow{CB}}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot cos<B>-|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot cos(\pi -C)$

即 $a^2=c\cdot a\cdot cosB+b\cdot a\cdot cosC$，两边约去 a,

得到 $a=ccosB+bcosC$，即得到射影定理，也称第一余弦定理。

使用常见

如解三角形题目中出现这样的条件：$\frac{si{n}^A+si{n}^B-si{n}^{2}C}{c}=\frac{sinAsinB}{acosB+bcosA}$

则我们由射影定理得，$acosB+bcosA=c$，代入上式，得

$\frac{si{n}^A+si{n}^B-si{n}^{2}C}{c}=\frac{sinAsinB}{c}$

则得到 $a^2+b^2-c^2=ab$，接下来的步骤就可能简单很多了。