01 正弦定理

说说

什么是解三角形？

假设有一个三角形 $\mathrm{△}ABC$，它的数据有 $ABCabc$，若我们已知它的若干个数据，求其它数据的过程我们称之为解三角形。

正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$。

证明：

$\because sinA=\frac{h}{b},sinB=\frac{h}{a}$

$\therefore asinB=h=bsinA$

$\therefore \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$

同理，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$。

另一个结论

我们还可以得出结论 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，其中 $R=\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{外}\mathrm{切}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{半}\mathrm{径}$。

证明：

$AD$ 为圆的直径。$AB\perp BD$。由同弧对应角大小一样得出 $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D$，

$\therefore sinC=sinD$

$\therefore \frac{c}{2R}=sinD=sinC$

$\therefore \frac{c}{sinC}=2R$

例题 1

$\mathrm{△}ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$.若 $a=6,b=2\sqrt{3},B,A,C$成等差数列，则 $B=()$.

解：

因为成等差数列，所以

$2A=B+C$

又由三角形的内角之和为 $\pi$ 得

$2A=B+C=\pi -A$

$\therefore A=\frac{\pi }{3}$

然后利用正弦定理，得

$\frac{2\sqrt{3}}{sinB}=\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$sinB=\frac{2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6}=\frac{1}{2}$

因为 $\mathrm{\angle }A=\frac{\pi }{3}$，

又因为大变对大角，所以 $\mathrm{\angle }A>\mathrm{\angle }B$。

所以 $B=\frac{\pi }{6}$