难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）

设圆半径为 $r$，圆心为 $(1,y_0)$

$M(1,y_0+r),N(1,y_0-r),A(-2,0)$

$k_2=y_0$

设直线 $AM:x=m_{1}y-2,m=\frac{3}{y_0+r}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=m_{1}y-2\end{array}$

$3(m_{1}y-2{)}^2+4y^2-12=0$

$(3m_1^2+4)y^2-12m_{1}y=0$

$y_1+y_2=y_p=\frac{12m_1}{3m_1^2+4}$

$x_p=m_1{y}_p-2=\frac{12m_1^2-6m_1^2-8}{3m_1^2+4}=\frac{6m_1^2-8}{3m_1^2+4}=2-\frac{16}{3m_1^2+4}$

设直线 $AN:x=m_{2}y-2,m_2=\frac{3}{y_0-r}$

同理，$y_Q=\frac{12m_2}{3m_2^2+4},x_Q=2-\frac{16}{3m_2^2+4}$

$k_1=\frac{y_p-y_Q}{x_p-x_Q}=\frac{\frac{12m_1}{3m_1^2+4}-\frac{12m_2}{3m_2^2+4}}{-\frac{16}{3m_1^2+4}+\frac{16}{3m_2^2+4}}$

$=\frac{12m_1(3m_2^2+4)-12m_2(3m_1^2+4)}{-16(3m_2^2+4)+16(3m_1^2+4)}$

$=\frac{36m_1{m}_2(m_2-m_1)+48m_1-48m_2}{48m_1^2-48m_2^2}$

$=\frac{36m_1{m}_2(m_2-m_1)+48m_1-48m_2}{48(m_1+m_2)(m_1-m_2)}$

$=\frac{-36m_1{m}_2+48}{48(m_1+m_2)}=\frac{-3m_1{m}_2+4}{4(m_1+m_2)}$

$m_1{m}_2=\frac{3}{y_0+r}\frac{3}{y_0-r}=\frac{9}{y_0^2-r^2}$

$m_1+m_2=\frac{3}{y_0+r}+\frac{3}{y_0-r}=3\frac{y_0-r+y_0+r}{y_0^2-r^2}=3\frac{2y_0}{y_0^2-r^2}$

$k_1=\frac{-3\times 9+4y_0^2-4r^2}{24y_0}$

$k_1{k}_2=\frac{-27+4y_0^2-4r^2}{24}$

因为 $r^2=1+y_0^2$

所以 $k_1{k}_2=\frac{-27+4\times (-1)}{24}=\frac{-31}{24}$